Otimização/Existência de soluções globais


Definição

é o conjuntos dos minimizadores de f em D, locais e globais.

Definição

Dizer que significa que o conjuntos dos minimizadores de f em D possui um mínimo e ele é global.

Definição

Seja , onde é chamado valor ótimo do problema e é um mínimo global.

Teorema de WeierstrassEditar

Seja   contínua em D compacto.

Então  Editar

Suponha que f é ilimitada inferiormente, então  . Por outro lado, D é compacto e  . Como D é limitado, logo a   é limitada. Toda sequência limitada possui uma subsequência convergente. Assim   possui uma subsequência convergênte  , tal que  . Assim  . Absurdo.

 , pela definição de ínfimo, dado   tal que  .

Curva de nível Editar

Definição

Seja  

Corolário da curva de nível compactaEditar

Sejam   contínua em D. Se     é compacto.

Então  Editar

Prova: Pelo Teorema de Weierstrass  , isto é,    ).

Mas se      . Assim  , isto é,  .

Projeção de y sobre DEditar

Definição

 

Corolário da projeção de y sobre DEditar

  é fechado.

Então  Editar

Tome  . É facil ver que  . Agora dado  . Assim   é contínua.

Por outro lado,  . Visto que   são fechados, temos que   é também fechado. Além disso, sendo   limitado, segue que   é também limitado e conseqüentemente compacto. Como   é compacto.

Vimos que   é contínua e   é compacto.. Tomando-se   suficientemente grande, de tal forma que  . Pelo corolário da curva de nível,    .

Mas    

 

ExemploEditar

Seja   e  

Mostrar que  .Editar

Suponhamos que   é ilimitado para um   tal que  . Se  , isto é, dado  . (...)