Lógica/Cálculo Quantificacional Clássico/Tablôs semânticos no CQC: diferenças entre revisões

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{{reciclagem}}
 
=Tablôs Semânticos no CQC=
:Tablôs semânticos no CQC seguem as mesmas regras que no CPC, adicionando regras para lidar com os quantificadores e as variáveis.
:Este texto partirá do princípio que já tenha sido lido o artigo: [[Lógica: /Cálculo Proposicional Clássico: /Tablôs semânticos]].
 
==Tablôs de Fórmulas==
[[Imagem:Regras de construção de tablos.gif]]
 
:Em vista destas regras já conhecidas podemos facilmente verificar que a seguinte fórmula é válida: <math>\exists x\left (Px\land Qx\right )\to\exists x\left (Px\land Qx\right ) </math>.
:Relembremos o procedimento de construção de tablôs:
* Supor que a fórmula seja falsa.
</div>
 
:Muito simples! De fato, <math>\exists x\left (Px\land Qx\right )\to\exists x\left (Px\land Qx\right ) </math> consiste numa instância de tautologia, do Princípio de Identidade (<math>\alpha\to \alpha</math>).
:Obviamente, nem todas fórmulas válidas do CQC são instâncias de tautologia. Não tardemos a tratar delas.
 
:<math>\mathbf{F}\quad \forall x\left(Gx\right)\to Ge\quad </math>[[Imagem:Crystal Clear gray action button ok.png]]
:<math>\mathbf{V}\quad \forall x\left(Gx\right)</math>
:<math>\mathbf{F}\quad Ge\,\!</math>
</div>
 
:Já estamos diante de uma novidade: a verdade de uma fórmula geral formada por um quantificador universal. Vejamos como lidar com isto.
:<math>\forall x\left(Gx\right)</math> significa que <math>G\,\!</math> é predicado de todas constantes individuais do sistema. Assim, sendo <math>\forall x\left(Gx\right)</math> verdade no tablô, então podemos inserir nele <math>Ga\,\!</math>, <math>Gb\,\!</math>, <math>Gc\,\!</math>, <math>Gd\,\!</math>, <math>Ge\,\!</math> etc., sendo todas verdadeiras. Não precisamos ter certeza que <math>a\,\!</math>, <math>b\,\!</math>, <math>c\,\!</math>, <math>d\,\!</math> etc. realmente estão inseridas no sistema. Podemos apenas supor isto (aliás, todo tablô é uma suposição).
:Obviamente, inserir no tablô que <math>Ga\,\!</math>, <math>Gb\,\!</math>, <math>Gc\,\!</math>, <math>Gd\,\!</math>, <math>Gf\,\!</math>, <math>Gh\,\!</math>... são verdadeiras, em nada nos serve neste caso. Contudo, se inserirmos que <math>Ge\,\!</math> é verdadeira, o único ramo do tablô fecha e a validade de <math>\forall x\left(Gx\right)\to Ge</math> fica provada:
<div align="center">
:<math>\mathbf{F}\quad \forall x\left(Gx\right)\to Ge\quad </math> [[Imagem:Crystal Clear gray action button ok.png]]
:<math>\mathbf{V}\quad \forall x\left(Gx\right)</math>
:<math>\mathbf{F}\quad Ge\,\!</math>
:<math>\mathbf{V}\quad Ge\,\!</math>
:<math>\times</math>
</div>
 
:Repare que não marcamos <math>\forall x\left(Gx\right)</math> com um [[Imagem:Crystal Clear gray action button ok.png]] como fazíamos com outras fórmulas usadas. Afinal, ainda há infinitas outras fórmulas além de <math>Ge\,\!</math> que podem ser extraídas da verdade de :<math>\forall x\left(Gx\right)</math>.
 
:Repare que não marcamos <math>\forall x\left(Gx\right)</math> com um [[Imagem:Crystal Clear gray action button ok.png]] como fazíamos com outras fórmulas usadas. Afinal, ainda há infinitas outras fórmulas além de <math>Ge\,\!</math> que podem ser extraídas da verdade de :<math>\forall x\left(Gx\right)</math>.
 
=====Exemplo 2=====
:<math>Ge\to \forall x\left(Gx\right)</math>
:Intuitivamente podemos dizer que a fórmula não é válida. Afinal, não é porque <math>G\,\!</math> é predicado de uma constante, que necessariamente <math>G\,\!</math> seja predicado de todas constantes. De qualquer forma, façamos o tablô:
 
<div align="center">
:<math>\mathbf{F}\quad Ge\to \forall x\left(Gx\right)</math>
:<math>\mathbf{V}\quad Ge\,\!</math>
:<math>\mathbf{F}\quad \forall x\left(Gx\right)</math>
</div>
 
:O que fazer com a falsidade de uma fórmula geral que contém o quantificador universal? Se é falso que <math>G\,\!</math> é predicado de todas as constantes individuais, então deve haver alguma(s) constante(s) individual(is) que, se <math>G\,\!</math> for predicado a elas, tem-se uma fórmula falsa. Mas quais? Podemos supor quaisquer constantes individuais, desde que elas ainda não tenham aparecido no ramo do tablô. Ou seja, podemos inserir no tablô a falsidade de <math>Ga\,\!</math>, <math>Gb\,\!</math>, <math>Gc\,\!</math>, <math>Gd\,\!</math> etc. Contudo, não podemos inserir a falsidade de <math>Ge\,\!</math>, pois a constante <math>e\,\!</math> já aparece no ramo. Então o tablô fica aberto e concluímos que a fórmula não é válida.
 
=====Exemplo 3=====
:<math>\mathbf{F}\quad \forall x\left(Ax\to Ax\right)\quad </math> [[Imagem:Crystal Clear gray action button ok.png]]
:<math>\mathbf{F}\quad Af\to Af\quad </math> [[Imagem:Crystal Clear gray action button ok.png]]
:<math>\mathbf{V}\quad Af\,\!</math>
:<math>\mathbf{F}\quad Af\,\!</math>
:<math>\times</math>
</div>
 
=====Exemplo 4=====
:Vejamos finalmente uma fórmula que contém o quantificador existencial: <math>Ge\to \exists x\left(Gx\right)</math> .
 
<div align="center">
:<math>\mathbf{F}\quad Ge\to \exists x\left(Gx\right)\quad </math> [[Imagem:Crystal Clear gray action button ok.png]]
:<math>\mathbf{V}\quad Ge\,\!</math>
:<math>\mathbf{F}\quad \exists x\left(Gx\right)</math>
</div>
 
:Como lidar com a falsidade de uma fórmula geral formada por um quantificador existencial? Vejamos... se é falso que existe alguma constante individual a qual forme uma fórmula atômica verdadeira com a constante de predicado <math>G\,\!</math>, então podemos inserir no tablô a falsidade de qualquer fórmula atômica formada por <math>G\,\!</math> (<math>Ga\,\!</math>, <math>Gb\,\!</math>, <math>Gc\,\!</math>, <math>Gd\,\!</math>, <math>Ge\,\!</math> etc.). Se inserirmos a falsidade de <math>Ge\,\!</math>, o tablô fecha e concluímos a validade da fórmula <math>Ge\to \exists x\left(Gx\right)</math> :
<div align="center">
:<math>\mathbf{F}\quad Ge\to \exists x\left(Gx\right)\quad </math> [[Imagem:Crystal Clear gray action button ok.png]]
:<math>\mathbf{V}\quad Ge\,\!</math>
:<math>\mathbf{F}\quad \exists x\left(Gx\right)</math>
:<math>\mathbf{F}\quad Ge\,\!</math>
:<math>\times</math>
</div>
[[Imagem:Tablo formula quantificacional.jpg]]
 
:Foi feito todo ramo esquerdo do tablô e o direito até chegarmos a uma novidade: a verdade de uma fórmula geral formada por um quantificador existencial. Antes de tratar disto, vejamos o que foi feito do lado esquerdo.
*A fórmula não continha constantes individuais, nos deixando livres para inserir qualquer constante, que no caso é <math>f\,\!</math>.
*Não foi gratuitamente que comecei pela falsidade de <math>\forall x\left (Mx\to \neg Rx\right ) </math>. Como vimos acima, dada a falsidade de uma fórmula geral que contém o quantificador universal, podemos remover o quantificador e substituir a variável por uma constante individual, desde que ela ainda não tenha aparecido no ramo do tablô. Se começássemos pela falsidade de <math>\exists x\left (Mx\land Rx\right )</math>, depois não poderíamos usar a mesma constante individual a fim de encontrar a contradição.
:Agora vejamos como lidar com a verdade de uma fórmula geral formada pelo quantificador existencial. Se é verdade que <math>M\,\!</math> e <math>R\,\!</math> são predicados de algumas das constantes individuais, então deve haver alguma(s) constante(s) individual(is) que, se <math>M\,\!</math> e <math>R\,\!</math> forem predicadas a elas, tem-se uma fórmula verdadeira. Mas quais? Podemos supor quaisquer constantes individuais, desde que elas ainda não tenham aparecido no ramo do tablô.
:Em vista disto, procederemos na construção do tablô da seguinte forma: trabalhar primeiro com a verdade de <math>\exists x\left (Mx\land Rx\right )</math> e depois com a verdade de <math>\forall x\left (Mx\to \neg Rx\right ) </math>. Assim, seja qual for a constante individual que aplicarmos na primeira, poderemos aplicar na segunda.
 
==Regras de construção de tablôs para fórmulas quantificadas==
 
:Sendo <math>x\,\!</math> uma variável individual, <math>\alpha\,\!</math> uma fórmula onde <math>x\,\!</math> ocorre, e <math>c\,\!</math> alguma constante que substitui <math>x\,\!</math> na fórmula <math>\alpha\,\!</math>, temos:
 
:<math>{\mathrm{V}\quad \forall x\left(\alpha\right)\over \mathrm{V}\quad \alpha\left [x\mathcal {n} c\right]}</math>
 
: Para qualquer <math>c\,\!</math>.
 
 
:<math>{\mathrm{F}\quad \forall x\left(\alpha\right)\over \mathrm{F}\quad \alpha\left [x\mathcal {n} c\right]}</math>
 
:Desde que <math>c\,\!</math> seja nova no ramo.
 
 
:<math>{\mathrm{V}\quad \exists x\left(\alpha\right)\over \mathrm{V}\quad \alpha\left [x\mathcal {n} c\right]}</math>
 
:Desde que <math>c\,\!</math> seja nova no ramo.
 
 
:<math>{\mathrm{F}\quad \exists x\left(\alpha\right)\over \mathrm{F}\quad \alpha\left [x\mathcal {n} c\right]}</math>
 
: Para qualquer <math>c\,\!</math>.
 
 
:Nos casos em que a constante adicionada deve ser nova no ramo, a fórmula recebe marcação pois não pode novamente ser usada.
 
 
:Um tablô que envolve fórmulas quantificadas está ''terminado'' se:
</div>
 
:Agora utilizaremos as premissas, aplicando a mesma constante individual <math>l\,\!</math>:
 
<div align="center">
</div>
 
:E agora usamos as demais fórmulas gerais do tablô aplicando a constante <math>d\,\!</math>
 
<div align="center">
=====Exemplo 3=====
:Vejamos alguns casos de conversões lícitas.
:Do tipo E: Nenhum A é B. Logo nenhum B é A.
:Este argumento pode ser expresso na linguagem do CQC da seguinte forma:
 
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