Teoria dos conjuntos/Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união: diferenças entre revisões
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m "Implicar" é, neste caso, transitivo direto. |
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Linha 133:
=== O sucessor de um elemento de um ordinal é um subconjunto deste ordinal ===
Ou seja, ''Ord(β)'' e <math>\alpha \in \beta\,</math> implica
Isto é óbvio: <math>s(\alpha) = \alpha \cup \{ \alpha \}\,</math>, e <math>\alpha \subset \beta\,</math>
Linha 166:
Primeiro, é óbvio que <math>s(\alpha) \subseteq m\,</math>: por construção, <math>\alpha in m\,</math>, portanto, por ser ''α'' um ordinal de ''m'', temos que <math>\alpha \subset m\,</math> - o que completa a prova de que <math>\alpha \cup \{ \alpha \} \subseteq m\,</math>.
Por outro lado, seja ''x'' um elemento de ''m''. Então, comparando ''x'' com ''α'', temos três possibilidades: ''x = α'' implica
Ou seja, <math>m \subseteq s(\alpha)\,</math> e <math>s(\alpha) \subseteq m\,</math>, completando a demonstração de que <math>s(\alpha) = m \in \gamma\,</math>
Linha 180:
Primeiro, por construção, é claro que <math>m \not\in \alpha\,</math>.
Se <math>\alpha \in m \in \beta\,</math>, então <math>s(\alpha) \in \beta\,</math>, assim, temos que (pelo fato de ''m'' ser mínimo em ''β - α'' e ''s(α)'' ser um membro deste conjunto) que <math>m \subseteq s(\alpha)\,</math>, que implica
Temos, portanto, que <math>m \not\in \alpha\,</math> e <math>\alpha\ \not\in m\,</math>.
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