Teoria dos conjuntos/Axioma da potência

Axioma da potência

Dado um conjunto do tipo {x, y}, podemos construir (usando os axiomas anteriores) o conjunto {0, {x}, {y}, {x,y}} - ou seja, um conjunto cujos elementos são os subconjuntos do conjunto anterior.

O axioma da potência diz que este tipo de conjunto existe sempre, ou seja:

O conjunto das partesEditar

Combinando este axioma com o axioma da extensão, constrói-se o único conjunto P(x) (chamado de conjunto das partes de x ou conjunto potência de x) definido por:

 

Segue imediatamente da definição que:

 

PropriedadesEditar

As propriedades abaixo são imediatas (além de outras parecidas); a demonstração delas fica como exercício:

 
 
 

Produto cartesianoEditar

Dados dois conjuntos A e B, já vimos o que é o gráfico de uma relação de A para B: é qualquer conjunto cujos elementos são pares ordenados da forma (a, b) com  . Porém, exceto em casos muito simples, não fomos capazes de mostrar que o conjunto de todos estes pares existem.

O axioma da potência é necessário para construir este conjunto: como um par ordenado foi definido como (a, b) = {{a}, {a,b}}, temos que este é um conjunto cujos elementos são subconjuntos de A e de  :

 
 

portanto, temos que:

 

ou seja:

 

e, finalmente,

 

Com isso, definimos o produto cartesiano A x B como o conjunto:

 

O raciocínio acima descrito (para mostrar que   mostra que o produto cartesiano satisfaz à seguinte propriedade:

 

Propriedades do produto cartesianoEditar

Estas propriedades (e outras parecidas) são fáceis de provar:

  •  
  •  
  •  

Composição de funçõesEditar

Na conceituação das funções vistas em um capítulo anterior, foi possível definir o que são funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas - mas não foi possível conceituar o que é a função composta. Isto porque era preciso construir o produto cartesiano. Temos, portanto:

Sejam   e   funções. Considere-se então a relação g o f de A para C cujo gráfico é o subconjunto de   definido por:

 .

Lema:   é uma função.

Prova: exercício.

Funções especiaisEditar

Sempre partindo do produto cartesiano e obtendo subconjuntos, podemos obter várias funções especiais:

Função constanteEditar

Se  , define-se a função constante   cujo gráfico é  .

Exercício: mostre que esta é uma função.

Função identidadeEditar

Para todo conjunto A, a função identidade é a função   cujo gráfico são os pares ordenados de forma (a,a).

Exercício: mostre que esta é uma função.

Composição com a função identidadeEditar

Se   é uma função qualquer, então:

 
 

Função inversaEditar

Se   é uma função bijetiva, define-se a função inversa como   cujo gráfico são os pares (y,x) em que  .

Exercício: mostre que esta é uma função bijetiva.

Composição da função com a sua inversaEditar

Se   é uma função bijetiva, então:

  é igual à função  
  é igual à função  

Inversa da composiçãoEditar

Se   e   são funções bijetivas, então   é uma função bijetiva, e sua inversa é  

União de funçõesEditar

Sejam   e   funções quaisquer, em que  .

É possível mostrar que existe uma função   cujo gráfico é a união dos gráficos de f e g.

Esta função costuma ser representada desta forma:

 

Conjuntos finitosEditar

De posse das ferramentas agregadas com o axioma da potência, em especial as várias propriedades das funções, podemos voltar aos conjuntos finitos (segundo Dedekind), e provar várias propriedades importantes.

Por exemplo: se A é um conjunto infinito e  , então B é um conjunto infinito.

A prova é simples: seja   uma função bijetiva em que  . Então vamos construir a função  . Como  , a definição abaixo é válida:

 

A demonstração de que g é uma função bijetiva é tediosa, mas segue imediatamente das definições. Além disso, como S é um subconjunto próprio de A, este elemento que falta será o elemento que falta em  .

Surpreendentemente, não podemos ainda avançar - parece óbvio que a união de dois conjuntos finitos também é um conjunto finito, mas esta demonstração requer outro axioma.

Números ordinaisEditar

Já definimos o que é um número ordinal (segundo von Neumann), através da propriedade Ord(α) definida:

  • Existe uma relação bem ordenada ((α, α), R)
  • Esta relação satisfaz  
  • Todo elemento de α é um subconjunto de α (ou seja,  

Podemos agora provar alguns fatos básicos sobre números ordinais.

O sucessor de um ordinal é um ordinalEditar

Se α é um número ordinal, então seu sucessor   também é.

A demonstração - que não podia ser feita antes - parte da construção da relação ((s(α), s(α)), R) simplesmente definindo o seu gráfico  .

É imediato (pela definição) que  .

Analogamente, todo elemento de s(α) é um elemento de α (portanto subconjunto de α, logo subconjunto de s(α)) ou é o próprio α, que é um subconjunto de s(α).

Falta mostrar que esta relação é bem ordenada, ou seja:

  •   (transitividade)
  •   (aliorrelatividade)
  •   (ordem total)
  •   (bem-ordenação)

e que o que falta mostrar é se estas propriedades valem quando algum destes x, y, z ou S são iguais (ou contém, no caso de S) α

Na primeira propriedade, a única exceção possível é quando z = α, neste caso, é óbvio que  .

Na segunda propriedade, basta mostrar que  , mas isto é óbvio, porque se   então, pela segunda propriedade aplicada ao conjunto x = α como elemento do ordinal α chega-se a  .

Na terceira propriedade, sendo x igual a α e y diferente, então y é um elemento de α; os demais casos também são imediatos.

Finalmente, seja S um subconjunto de s(α) que inclua o elemento α. Então, se S possui qualquer outro elemento, tomamos i como sendo o mínimo de  , caso contrário i = α - e isto conclui a demonstração.

O sucessor de um elemento de um ordinal é seu elemento ou igual a eleEditar

Ou seja, sejam α e β ordinais com  . Então   ou  .

Suponhamos então que  . Já vimos que  , portanto temos que  . Mas já vimos que, se um ordinal é subconjunto próprio de outro, então é seu elemento, o que completa a prova  

Se dois ordinais são distintos, então um deles é elemento do outroEditar

Suponhamos então que Ord(α) e Ord(β) sejam dois ordinais distintos, e seja  .

Se γ não for nem α nem β então temos que   e, analogamente,  , portanto   o que leva a  , contradizendo  .

Portanto, γ é igual a α ou igual a β, completando a prova.

Ver tambémEditar

A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Axioma da potência