Teoria dos conjuntos/Axioma da potência
Axioma da potência
Dado um conjunto do tipo {x, y}, podemos construir (usando os axiomas anteriores) o conjunto {0, {x}, {y}, {x,y}} - ou seja, um conjunto cujos elementos são os subconjuntos do conjunto anterior.
O axioma da potência diz que este tipo de conjunto existe sempre, ou seja:
O conjunto das partes
editarCombinando este axioma com o axioma da extensão, constrói-se o único conjunto P(x) (chamado de conjunto das partes de x ou conjunto potência de x) definido por:
Segue imediatamente da definição que:
Propriedades
editarAs propriedades abaixo são imediatas (além de outras parecidas); a demonstração delas fica como exercício:
Produto cartesiano
editarDados dois conjuntos A e B, já vimos o que é o gráfico de uma relação de A para B: é qualquer conjunto cujos elementos são pares ordenados da forma (a, b) com . Porém, exceto em casos muito simples, não fomos capazes de mostrar que o conjunto de todos estes pares existem.
O axioma da potência é necessário para construir este conjunto: como um par ordenado foi definido como (a, b) = {{a}, {a,b}}, temos que este é um conjunto cujos elementos são subconjuntos de A e de :
portanto, temos que:
ou seja:
e, finalmente,
Com isso, definimos o produto cartesiano A x B como o conjunto:
O raciocínio acima descrito (para mostrar que mostra que o produto cartesiano satisfaz à seguinte propriedade:
Propriedades do produto cartesiano
editarEstas propriedades (e outras parecidas) são fáceis de provar:
Composição de funções
editarNa conceituação das funções vistas em um capítulo anterior, foi possível definir o que são funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas - mas não foi possível conceituar o que é a função composta. Isto porque era preciso construir o produto cartesiano. Temos, portanto:
Sejam e funções. Considere-se então a relação g o f de A para C cujo gráfico é o subconjunto de definido por:
- .
Lema: é uma função.
Prova: exercício.
Funções especiais
editarSempre partindo do produto cartesiano e obtendo subconjuntos, podemos obter várias funções especiais:
Função constante
editarSe , define-se a função constante cujo gráfico é .
Exercício: mostre que esta é uma função.
Função identidade
editarPara todo conjunto A, a função identidade é a função cujo gráfico são os pares ordenados de forma (a,a).
Exercício: mostre que esta é uma função.
Composição com a função identidade
editarSe é uma função qualquer, então:
Função inversa
editarSe é uma função bijetiva, define-se a função inversa como cujo gráfico são os pares (y,x) em que .
Exercício: mostre que esta é uma função bijetiva.
Composição da função com a sua inversa
editarSe é uma função bijetiva, então:
- é igual à função
- é igual à função
Inversa da composição
editarSe e são funções bijetivas, então é uma função bijetiva, e sua inversa é
União de funções
editarSejam e funções quaisquer, em que .
É possível mostrar que existe uma função cujo gráfico é a união dos gráficos de f e g.
Esta função costuma ser representada desta forma:
Conjuntos finitos
editarDe posse das ferramentas agregadas com o axioma da potência, em especial as várias propriedades das funções, podemos voltar aos conjuntos finitos (segundo Dedekind), e provar várias propriedades importantes.
Por exemplo: se A é um conjunto infinito e , então B é um conjunto infinito.
A prova é simples: seja uma função bijetiva em que . Então vamos construir a função . Como , a definição abaixo é válida:
A demonstração de que g é uma função bijetiva é tediosa, mas segue imediatamente das definições. Além disso, como S é um subconjunto próprio de A, este elemento que falta será o elemento que falta em .
Surpreendentemente, não podemos ainda avançar - parece óbvio que a união de dois conjuntos finitos também é um conjunto finito, mas esta demonstração requer outro axioma.
Números ordinais
editarJá definimos o que é um número ordinal (segundo von Neumann), através da propriedade Ord(α) definida:
- Existe uma relação bem ordenada ((α, α), R)
- Esta relação satisfaz
- Todo elemento de α é um subconjunto de α (ou seja,
Podemos agora provar alguns fatos básicos sobre números ordinais.
O sucessor de um ordinal é um ordinal
editarSe α é um número ordinal, então seu sucessor também é.
A demonstração - que não podia ser feita antes - parte da construção da relação ((s(α), s(α)), R) simplesmente definindo o seu gráfico .
É imediato (pela definição) que .
Analogamente, todo elemento de s(α) é um elemento de α (portanto subconjunto de α, logo subconjunto de s(α)) ou é o próprio α, que é um subconjunto de s(α).
Falta mostrar que esta relação é bem ordenada, ou seja:
- (transitividade)
- (aliorrelatividade)
- (ordem total)
- (bem-ordenação)
e que o que falta mostrar é se estas propriedades valem quando algum destes x, y, z ou S são iguais (ou contém, no caso de S) α
Na primeira propriedade, a única exceção possível é quando z = α, neste caso, é óbvio que .
Na segunda propriedade, basta mostrar que , mas isto é óbvio, porque se então, pela segunda propriedade aplicada ao conjunto x = α como elemento do ordinal α chega-se a .
Na terceira propriedade, sendo x igual a α e y diferente, então y é um elemento de α; os demais casos também são imediatos.
Finalmente, seja S um subconjunto de s(α) que inclua o elemento α. Então, se S possui qualquer outro elemento, tomamos i como sendo o mínimo de , caso contrário i = α - e isto conclui a demonstração.
O sucessor de um elemento de um ordinal é seu elemento ou igual a ele
editarOu seja, sejam α e β ordinais com . Então ou .
Suponhamos então que . Já vimos que , portanto temos que . Mas já vimos que, se um ordinal é subconjunto próprio de outro, então é seu elemento, o que completa a prova
Se dois ordinais são distintos, então um deles é elemento do outro
editarSuponhamos então que Ord(α) e Ord(β) sejam dois ordinais distintos, e seja .
Se γ não for nem α nem β então temos que e, analogamente, , portanto o que leva a , contradizendo .
Portanto, γ é igual a α ou igual a β, completando a prova.