Análise real/Integral de Riemann: diferenças entre revisões
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==== Demonstração ====
== Funções integráveis ==
Das somas de Darboux destacamos as seguintes [[w:Somas_de_Riemann,_somas_de_Darboux_e_outras_somas|propriedades elementares]].
# ''Para quaisquer partições'' ''<math>P,Q\in\mathcal{P}([a,b])</math> tem-se'' <math>s_f(P)\leq S_f(Q)</math>.
# ''Se'' ''<math>P,Q\in\mathcal{P}([a,b])</math>'' ''são duas partições tais que'' <math>P\subset Q</math> ''(caso em que <math>Q</math> se diz uma partição mais fina que <math>P</math> ou um refinamento da partição <math>P</math>)'' ''então'' <math>s_f(P)\leq s_f(Q)</math> ''e'' <math>S_f(Q)\leq S_f(P)</math>.
As duas propriedades simples acima permitem-nos obter com facilidade a seguinte primeira condição de integrabilidade (ver <ref>{{citar livro|título=Curso de Análise (vol. 1)|ultimo=Lima|primeiro=Elon Lages|editora=IMPA, CNPq|ano=1976|local=Rio de Janeiro|página=p,249, Teorema 4|isbn=9-216-05138-8}}</ref>), muito comum na literatura.
=== Teorema ===
Uma função <math>f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}</math> limitada é integrável à Riemann se e só se
* ''Para cada <math>\epsilon>0</math> existe <math>P\in\mathcal{P}([a,b])</math> tal que <math>S_f(P)-s_f(P)<\epsilon</math>''.
Para provar este teorema comecemos por observar que pelas [[w:Supremo_e_ínfimo|propriedades algébricas dos ínfimos e dos supremos]] se tem
<math>\begin{align} \overline{\int}_{a}^{\ b} f(x) \, \mathrm{d}x - \underline{\int}_{a}^{\ b} f(x) \, \mathrm{d} & =\inf\ \{S_f(Q_1):Q_1\in\mathcal{P}([a,b])\}-\sup\{s_f(Q_2):Q_2\in\mathcal{P([a,b])}\} \\ & =\inf\ \{S_f(Q_1):Q_1\in\mathcal{P}([a,b])\}+\inf\{-s_f(Q_2):Q_2\in\mathcal{P([a,b])}\} \\&\\& =\inf\ \{S_f(Q_1)-s_f(Q_2):Q_1,Q_2\in\mathcal{P}([a,b])\}. \\ \end{align} </math>
Deste modo, se <math>f</math> é integrável então para cada <math>\epsilon>0</math> existem ''<math>Q_1,Q_2\in\mathcal{P}([a,b])</math>'' tais que <math>0\leq S_f(Q_1)-s_f(Q_2)<\epsilon</math>. Assim, tomando <math>P=Q_1\cup Q_2</math>, pela propriedade 2, teremos igualmente, <math>0\leq S_f(P)-s_f(P)<\epsilon.</math>
Reciprocamente, se para cada <math>\epsilon>0</math> existir ''<math>P\in\mathcal{P}([a,b])</math>'' tal que <math>0\leq S_f(P)-s_f(P)<\epsilon.</math> então também <math>0\leq S_f(Q_1)-s_f(Q_2)<\epsilon</math>, para quaisquer ''<math>Q_1,Q_2\in\mathcal{P}([a,b])</math>'' que contenham <math>P.</math>
=== Exemplo 1 (funções monótonas) ===
Seja <math>f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}</math> uma função monótona no intervalo <math>[a,b].</math> Então <math>f</math> é integrável em <math>[a,b].</math>
Supondo,por exemplo, que <math>f</math> é crescente em <math>[a,b]</math> (no caso decrescente, basta ter em conta que <math>-f </math> é crescente), temos que <math>f</math> é limitada, pois <math>f(a)\leq f/x)\leq f(b)</math> para cada <math>x\in[a,b]</math>. Do mesmo modo, relativamente a uma qualquer partição <math>P=\{x_0,x_1,...,x_n\}</math> de <math>[a,b]</math>. a diferença de somas de Darboux ''<math display="inline">S_f(P)-s_f(P)=\sum_{1=1}^n(f(x_i)-f(x_{i-1]}))(x_i-x_{i-1})</math>''. Ora, como <math>(x_i-x_{i-1})\leq|P|</math> temos que ''<math display="inline">S_f(P)-s_f(P)\leq (f(b)-f(a))|P|</math>''. Então para cada ''<math>\epsilon>0</math>'', se a partição <math>P</math> for tal que <math>|P|<\epsilon/(f(b)-f(a))</math> obtemos ''<math>S_f(P)-s_f(P)<\epsilon</math>''. Logo a condição de Riemann é satisfeita e por conseguinte, <math>f</math> é integrável em <math>[a,b].</math>
Igualmente como aplicação da condição de Riemann podemos obter a integrabilidade das funções contínuas. Para o efeito, vamos usar uma propriedade importante das funções contínuas em intervalos compactos (isto é, fechados e limitados): a de serem [[w:Continuidade_uniforme|uniformemente contínua]]<nowiki/>s. Significa isto, que para qualquer <math>\alpha>0</math>, existe <math>\beta>0</math>, tal que <math display="inline">|f(x)-f(y)|<\alpha</math> sempre que se tenha <math>|x-y|<\beta</math>.
==== Exemplo 2 (funções contínuas) ====
Seja <math>f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}</math> uma função contínua no intervalo <math>[a,b].</math> Então <math>f</math> é integrável em <math>[a,b].</math>
Comecemos por notar que, pelo [[w:Teorema_de_Weierstrass|teorema]] de [[w:Karl_Weierstrass|Weierstrass]], <math>f</math> é uma função limitada em <math>[a,b]</math>. Pela mesma razão, as somas de Darboux são somas de Riemann. Mais concretamente, para <math>i=1,...,n,</math> temos <math>m_i=f(c_i)</math> e <math>M_i=f(d_i)</math>, com <math>c_i,d_i\in[x_{i-1},x_i]</math>, pelo que para a correspondente partição <math>P=\{x_0,x_1,...,x_n\}</math> de <math>[a,b]</math>, vem ''<math display="inline">S_f(P)-s_f(P)=\sum_{i=1}^n (f(d_i)-f(c_i))(x_i-x_{i-1})</math>''.
Então na condição de Riemann tomemos <math>\epsilon>0</math> arbitrário, na relação acima que define a continuidade uniforme de <math>f</math> em <math>[a,b]</math>, façamos <math>\alpha=\epsilon/(b-a)</math> e consideremos o valor <math display="inline">\beta>0</math> cuja existência nos é garantida. Supondo que a partição <math>P</math> de <math>[a,b]</math> possui diâmetro <math>|P|<\beta</math>, temos por conseguinte, para cada <math>i=1,...,n,</math> que ''<math display="inline">0\leq(f(d_i)-f(c_i))<\epsilon/(b-a)</math>'' donde resulta ''<math display="inline">S_f(P)-s_f(P)<\epsilon.</math>'' Logo pela condição de Riemann <math>f</math> é integrável em <math>[a,b].</math>
A condição do teorema assume um aspeto meramente técnico. Ela não nos dá qualquer indício das qualidades que a função deva verificar para ser integrável à Riemann.Um quadro qualitativo desta propriedade, aparece pela mão de Henri Lebesgue, na sua tese doutoral (''"Intégrale, Longueur, Aire" (Integral, Comprimento, Área)'' apresentada na Faculdade de Ciências de Paris em 1902, com base no conceito de [[w:Conjunto_de_medida_zero|conjunto de medida de nula.]]
== Referências ==
<references group="Lima" />
Seja <math> f:[a,b] \mapsto \mathbb{R} </math>
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