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Análise real/Unicidade dos números reais: diferenças entre revisões

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A demonstração NÃO ESTÁ pronta, tenham paciência. :)
Linha 21:
=== Demonstração ===
 
A maneira mais simples de provar que existe um isomorfismo é construir uma função <math>f</math> entre os corpos <math>\mathbb{F}</math> e <math>\mathbb{K}</math> e então provar que essa função é um isomorfismo;▼
 
 
'''A demonstração NÃO ESTÁ pronta, tenham paciência.'''
Sabemos que <math>\mathbb{F}, \mathbb{K}</math> então existe <math>0,1 \in \mathbb{F}</math> e <math>0',1' \in \mathbb{K}</math>, nada mais natural que definirmos:▼
 
 
 
▲A maneira mais simples de provar que existe um isomorfismo é construir uma função <math>f\phi</math> entre os corpos <math>\mathbb{F}</math> e <math>\mathbb{K}</math> e então provar que essa função é um isomorfismo;
 
 
▲Sabemos que <math>\mathbb{F}, \mathbb{K}</math> são corpos, então existe <math>0,1 \in \mathbb{F}</math> e <math>0',1' \in \mathbb{K}</math>, nada mais natural que definirmos:
 
Seja <math>f:\mathbb{Q} \subset \mathbb{F} \to \mathbb{K}</math> definida da seguinte maneira:
<math>f(0) = 0'</math>
 
<math>f(1) = 1'</math>
 
Por indução também podemos definir:
 
<math>f(n) = f(n-1) + 1'</math>
Linha 36 ⟶ 43:
<math>f(-n) = -f(n)</math>
 
e ainda por indução temos:
 
Se <math>n \not= 0</math>, então sabemos que <math>\exists f(n)^{-1} \in \mathbb{K}</math>, pois como <math>n \not= 0</math>, então <math>f(n) \not= 0'</math>.
<math>f(n + 1) = f(n) + f(1) = n' + 1'</math>▼
 
Portanto podemos definir:
 
▲<math>f(m/n + 1) = f(nm) + f(1n) = n' + ^{-1'}</math>.
 
MapeamosDesta oforma conjuntoa função <math>f</math> mapeia <math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{F}</math> no conjuntoem <math>\mathbb{Q}' \subset \mathbb{K}</math>.▼
 
 
Seja <math>\phi:\mathbb{F} \to \mathbb{K}</math> definida da seguinte maneira:
<math>f(n + m) = f(n + (m - 1)) + 1' = n' + (m' - 1) + 1' = n' + m'</math>
 
Para cada <math>a \in \mathbb{F}</math>, sejam, <math> X_a = \{x \leq a; x \in \mathbb{Q} \subset \mathbb{F}\}</math>. Como <math>X_a \not = \emptyset</math>, podemos definir <math>\phi(a) = \sup \{f(x); x \in X_a\}.</math>
e:
 
<math>f(n1) = f(n)1'</math>
 
Agora vamos provar que <math>\phi</math> é de fato um isomorfismo.
<math>f(nm) = f(n(m - 1)) + f(n) = n'(m' - 1') + n' = n'[(m' - 1') + 1'] = n'm'</math>
 
* <math>\phi</math> preserva a soma:
Portanto até aqui mapeamos o conjunto <math>\mathbb{Z} \subset \mathbb{F}</math> no conjunto <math>\mathbb{Z}' \subset \mathbb{K}</math>.
 
* <math>\phi</math> preserva o produto:
Continuando nossa definição:
 
* <math>f(n/m) = f(n)f(m)^{-1},\phi</math> sepreserva <math>ma \not= 0</math>.ordem:
 
* <math>\phi</math> é injetora:
<math>f(n/m + p/q) = f((nq + mp)/pq) = f(nq + mp)f(pq)^{-1}</math>
 
* <math>\phi</math> é sobrejetora;
▲Mapeamos o conjunto <math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{F}</math> no conjunto <math>\mathbb{Q}' \subset \mathbb{K}</math>.
 
Para cadaDado <math>ay \in \mathbb{F}</math>, sejam, <math> X_ay = sup\{x \leq a^xq \in \mathbb{Q}'; \subsetq \mathbb{F}\}</math>, e <math>y\phi(a) = \sup X_a}.</math>;
Obtido em "https://pt.wikibooks.org/wiki/Análise_real/Unicidade_dos_números_reais"