Análise rn/Espaços vetoriais: diferenças entre revisões
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:O espaço euclidiano n-dimensional é o produto cartesiano de n fatores iguais a <math> \mathbb{R} </math>, cujo n <math> \in \mathbb{N} </math>:
::<math> \mathbb{R}^n = \mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\cdots \times\mathbb{R} </math>
:Quando n = 1 (reta); n = 2 (plano); n = 3 (espaço euclidiano tridimensional); n = 0 (espaço nulo)
: Relembrando da análise real que <math> I_n = \left \{1,2, \cdots, n; \forall n \in \mathbb{N} \right \}</math>▼
* Os pontos <math> a \in \mathbb{R}^n </math>:
:são todos os pontos a = <math> (a_1, a_2, \cdots ,a_n) </math> cujas coordenadas <math> a_1, a_2, \cdots ,a_n \in \mathbb{R}</math>
* Unicidade de pontos:
:Dados a = <math> (a_1, a_2, \cdots ,a_n) </math> e b = <math> (b_1, b_2, \cdots ,b_n) </math>. Temos que <math> a=b \Leftrightarrow a_i = b_i, \forall i \in I_n </math>
▲: Relembrando da análise real que <math> I_n =
=== Propriedades do Espaço Vetorial <math> \mathbb{R}^n </math>===
* Soma e produto no <math> \mathbb{R}^n </math>
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::<math> \alpha\cdot a = ( \alpha a_1,\cdots,\alpha a_n) </math>
* Estas operações fazem de <math> \mathbb{R}^n </math> um ''espaço vetorial'' de dimensão n sobre o corpo dos <math> \mathbb{R} </math>.
:O elemento neutro para adição é <math> \vec 0 = (0,0,...,0) </math>
:O simétrico de <math> a </math> é <math> -a </math> assim <math> -a = (-a_1, -a_2, \cdots, -a_n) </math>
* Os elementos <math> a \in \mathbb{R}^n </math> serão chamados pontos ou vetores
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* A base canônica de <math> \mathbb{R}^n </math> é formada pelos vetores:
:<math> e_1=(1,0,0,0,\cdots,0,0,0); e_1=(0,1,0,0,\cdots,0,0,0); \cdots; e_n=(0,0,0,0,\cdots,0,0,1) </math>
*Dado <math> a \in \mathbb{R}^n </math> temos que <math> a = \sum_{k=1}^{n}
=== Exemplos ===
* Podemos estabelecer uma bijeção natural entre o conjunto <math> \mathfrak{L} ( \mathbb{R}^m; \mathbb{R}^n ) </math> das aplicações lineares <math> A:\mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </math> e o conjunto <math> M(n\times m) </math> das matrizes reais <math> (a_{ij}) </math> com n linhas e m colunas.
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**Assim a matriz <math> (a_{ij}) </math> da aplicação linear <math> A:\mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </math> tem como colunas os m vetores <math> A \cdot e_j = (a_{1j}, \cdots, a_{nj} ) \in \mathbb{R}^n</math>, transformados por A dos vetores da base canônica de <math>\mathbb{R}^n</math>
**Reciprocamente dada uma matriz <math> (a_{ij}) </math> com n linhas e m colunas, a igualdade (*) define os valores de uma aplicação linear <math> A:\mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </math> nos m vetores da base canônica. Isto é suficiente para definir o valor de A em qualquer vetor <math> a\in\mathbb{R}^m </math> tendo-se <math> A\cdot x = \sum_{j=1}^{m} xj\cdot Ae_j </math>
** Cada matriz real <math> n\times m </math> pode ser considerada como um ponto do espaço euclidiano <math> \mathbb{R}^{nm} </math>, basta escrever suas colunas uma após a outra numa linha. Assim sempre que for conveniente, podemos substituir o conjunto <math> \mathfrak{L} ( \mathbb{R}^m; \mathbb{R}^n ) </math> das aplicações lineares de <math> \mathbb{R}^m</math> em <math> \mathbb{R}^n</math>; ora pelo conjunto <math> M(n\times m) </math> das matrizes reais com n linhas e m colunas; ora pelo espaço euclidiano nm-dimensional<math> \mathbb{R}^{nm} </math>.
** <math> \mathbb{R}^{nm} \approx \mathfrak{L} ( \mathbb{R}^m; \mathbb{R}^n ) \approx \mathbb{R}^{nm} </math> são isomorfos.
* Os funcionais lineares <math> f:\mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </math>são um tipo especial de aplicação linear.
** Sejam <math> y_j = f(e_j); j \in I_m </math> os valores que o funcional assume nos vetores da base canônica. Para qualquer <math> a \in \mathbb{R}^m </math>, temos <math> a = \sum_{i=1}^{m} a_ie_i </math>, logo <math> f(a) = \sum_{i=1}^{m} a_if(e_i) </math>, ou seja, <math> f(a) = \sum_{i=1}^{m} y_ia_i </math>
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: <math> \varphi(\alpha a,b)= \alpha\cdot\varphi(a,b)</math>
: <math> \varphi(a,\alpha b)= \alpha\cdot\varphi(a,b)</math>
::quaisquer que sejam <math> a,a' \in \mathbb{R}^m;
**Se <math> \varphi </math> é bilinear então, para <math> a \in \mathbb{R}^m \mbox{ e } b \in \mathbb{R}^n</math> arbitrários vale:
::<math> \varphi(a,b) = \varphi(\sum a_ie_i,\sum b_je_j)=\sum a_ib_i\varphi(e_i,e_j) </math>:
:de modo que <math> \varphi </math> fica inteiramente determinado pelos mn valores <math> \varphi(e_i,e_j) \in \mathbb{R}^p </math> que assume ns pares ordenados de vetores básicos<math> (e_i,e_j) </math>. Note que <math> \varphi(a,0) = \varphi(0,b)=0 </math> quaisquer que sejam <math> a \in \mathbb{R}^m \mbox{ e } b \in \mathbb{R}^n</math>.
== Produto Interno e Norma ==
[[Categoria:Análise rn]]
== Produto Interno e Norma ==
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