Análise real/Integral de Riemann: diferenças entre revisões
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Linha 74:
Pelo Lema 1 <math> \underline{S}(f;P^*) \le \mbox{ sup }\underline{S}(f;P^*) \le \mbox{ inf }\overline{S}(f;P^*) \le \overline{S}(f;P^*) </math>.
: Logo <math> \underline{S}(f;P^*) \le \underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx \le \overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx
=== Lema 2 (soma conservada no refinamento) ===
Seja <math> c \in ]a,b[ </math> e <math>Q^*</math> são todas as partição de [a,b] que contém c. Assim <math> Q^* = P^* \cup \{c\}</math>, então <math> \underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx, \overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx </math> são únicos.
==== Demonstração ====
* Em particular <math> Q \subset Q^* </math>, ou seja, tomemos uma partição que contém {c}
: Seja <math> P = Q \setminus {c}</math>; onde <math>P \subset P^*</math>.
:: Pelo Lema 1 <math> \underline{S}(f;P) \le \underline{S}(f;Q) \le \overline{S}(f;Q) \le \overline{S}(f;P) </math>.
* olhemos para o fato que A' = {conta inferior de Q} e B' = {cota superior de Q}; A = {conta inferior de P} e B = {cota superior de P}
: <math> A \subset A' \Rightarrow se \; a \in A \; e \; a' \in A', logo \; a \le a'</math>
:: sup A = sup A', pois <math> c \in ]a,b[</math>
: <math> B \subset B' \Rightarrow se \; b \in B \; e \; b' \in B', logo \; b \le b'</math>
::inf B = inf B', pois <math> c \in ]a,b[ </math>
* <math> \mbox{ sup }\underline{S}(f;P) = \mbox{ sup }\underline{S}(f;Q) \le \mbox{ inf }\overline{S}(f;Q) = \mbox{ inf }\overline{S}(f;P) </math>.
=== Lema 3 ===
Sejam A, B subconjuntos não vazios e limitados dos reais.
* i) Se <math> A = \{a \in A \}, B = \{ b \in B\} </math>, então <math> A+B = \{a+b; a\in A, B \in B\} </math>
==== demonstração ====
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