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Álgebra linear/Espaços vetoriais: diferenças entre revisões

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}}
 
== DependênciaEspaço lineargerado ==
 
=== Definições ===
 
{{Definição|texto=
Seja <math>VS</math> um espaçosubconjunto vetorialnão sobrevazio de um corpoespaço vetorial <math>KV</math>. UmO vetorconjunto <math>ude \intodas V</math>as écombinações ditolineares '''combinaçãofinitas linear'''de doselementos vetoresde <math>v_1,S</math> \ldots,é v_num \insubespaço V<math>W</math> se existem escalaresde <math>\lambda_1V</math>, \ldots,e \lambda_né \indito o '''subespaço gerado''' por K<math>S</math> tais que.
: <math>\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n = u</math>
}}
 
Quando <math>S</math> é um conjunto finito <math>\{v_1, \ldots, v_n\}</math>, dizemos que <math>W</math> é o subespaço gerado pelos vetores <math>v_1, \ldots, v_n</math>.
 
{{Definição|texto=
Seja <math>S</math> um subconjunto de <math>V</math>. Dizemos que <math>S</math> é '''linearmente dependente''' se existem vetores distintos <math>v_1, \ldots, v_n \in V</math> e escalares <math>\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in K</math>, não todos nulos, tais que
: <math>\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n = 0</math>
Ou seja, <math>S</math> é linearmente dependente se alguma combinação linear não-trivial de alguns de seus vetores resulta no vetor nulo.
 
Quando <math>S</math> não é linearmente dependente, ou seja, quando a única combinação linear de vetores de <math>S</math> que resulta no vetor nulo é a trivial (com todos os coeficientes nulos), dizemos que <math>S</math> é '''linearmente independente'''.
}}
 
 
Quando temos um número finito de vetores <math>v_1, \ldots, v_n</math>, é comum dizer que ''os vetores'' <math>v_1, \ldots, v_n</math> são linearmente dependentes (ou independentes), em vez de dizer que o conjunto <math>S = \{v_1, \ldots, v_n\}</math> é linearmente dependente (ou independente).
 
 
=== Propriedades ===
 
* Todo conjunto que contém o vetor nulo é linearmente dependente.
* Todo conjunto que tem um subconjunto linearmente dependente é linearmente dependente.
* Todo subconjunto de um conjunto linearmente independente é linearmente independente.
* Se um vetor de um conjunto é combinação linear de outros vetores desse conjunto, então o conjunto é linearmente dependente.
 
 
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{{Navegação|[[../|Índice]]
|[[../SubespaçosDependência vetoriaislinear/]]
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}}
 
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