Guia de problemas matemáticos/Equações e inequações/Número de soluções inteiras para a inequação 2

O problemaEditar

Se a e b são dois números reais, denotamos por min(a,b) o menor dos números a e b, isto é,

 

Calcule o número de soluções inteiras negativas da inequação min(2x - 7, 8 - 3x) > -3x + 3.

Uma soluçãoEditar

Nesse problema (como em praticamente todos os formados por inequações) teremos que trabalhar com intervalos. Primeiramente, devemos encontrar os intervalos a que deve pertencer x para que a ou b seja o menor número. Pela definição dada no enunciado, vamos encontrar esse intervalo para que a seja o menor:

 

Vamos agora repetir a operação, dessa vez procurando pelo intervalo a que deve pertencer x de forma que b seja o menor:

 

A desigualdade proposta pelo problema pede que o menor dos números, a ou b, seja maior que -3x + 3. Para tanto, devemos encontrar o intervalo que contendo x, tornará verdadeira a desigualdade. Faremos isso da seguinte maneira: primeiramente, vamos encontrar o intervalo em que x nos dará como menor o número a e, ao mesmo tempo, maior que -3x + 3. Após, faremos o mesmo com o número b. Então:

 

Vemos aqui que para qualquer x real, maior que 2, a será maior que -3x + 3. Agora devemos fazer a intersecção desse intervalo com o intervalo que nos fornece a como o menor. Isso resultará em:

 .....(I)

Agora, para o número b:

 

Aqui, temos que para qualquer x real, o número b será maior que -3x + 3. Portanto, para que b seja o menor e, ao mesmo tempo, maior que -3x + 3, devemos ter:

 .....(II)

Finalmente, para encontrarmos todos os valores de x que, dando a ou b como o menor número e, ao mesmo tempo, fazendo com que esse número seja maior que -3x + 3, precisamos efetuar a intersecção entre os conjuntos (I) e (II). Essa operação nos dará:

 

Portanto, o conjunto solução dessa inequação será  , ou seja, x deve ser positivo e maior que 2. Isso nos leva a concluir que não existem soluções inteiras e negativas para a desigualdade proposta. Matematicamente falando:

 

E terminamos o problema.

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AgradecimentosEditar

  • A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.