Guia de problemas matemáticos/Equações e inequações/Número de soluções inteiras para a inequação 3

O problema

Se x é um número inteiro tal que ${\sqrt {2x^{2}+3x-5}}\leq x+1$, então calcule o número de elementos do conjunto solução dessa inequação.

Uma solução

De início, precisamos ter em mente o seguinte: é impossível extrair a raiz quadrada de números negativos. Portanto, primeiramente, precisamos estabelecer a relação que x deve satisfazer para tornar viável a extração da raiz quadrada da operação interior ao radical. Então:

$2x^{2}+3x-5\geq 0$

Perceba aqui que o coeficiente de x² é positivo, então a parábola tem concavidade voltada para cima. Para que essa operação admita valor nulo ou positivo, os números x que a satisfazem não podem estar entre suas raízes. Vamos encontrar suas raízes então:

$x={\frac {-3\pm {\sqrt {9+40}}}{4}}={\frac {-3\pm 7}{4}}$

$x_{1}={\frac {-5}{2}}$

$x_{2}=1$

Então, o intervalo real que satisfará essa primeira relação é:

$S_{1}=\left(x\in \Re /x\leq {\frac {-5}{2}}oux\geq 1\right)$....(I)

Agora, devemos levar em consideração o seguinte fato: um número real positivo possui como raizes quadradas um número positivo e outro negativo (a não ser que ele possua uma raiz nula). Como nesse problema o segundo membro, que está submetido a uma relação com a raiz quadrada de um número, deve ser maior que essa raiz quadrada, ele deve ser nulo (para o caso de a raiz quadrada também ser nula) ou positivo. Transmitindo isso matematicamente:

$x+1\geq 0\longrightarrow x\geq -1$....(II)

Nós calculamos, então, as seguintes restrições para x: proporcionar um número maior ou igual a 0 dentro do radical e fazer com que a operação x + 1 também seja maior ou igual a 0. Como todas as restrições devem ser obedecidas, precisamos interseccionar esses dois intervalos encontrados. Portanto, até agora, temos que x deve ser maior ou igual a 1, ou seja, $S_{2}=\left(x\in \Re /x\geq 1\right)$.

Agora, partamos para a inequação propriamente dita. Podemos resolvê-la elevando ao quadrado os dois membros da desigualdade inicial:

$\left({\sqrt {2x^{2}+3x-5}}\right)^{2}\leq \left(x+1\right)^{2}$

$2x^{2}+3x-5\leq x^{2}+2x+1$

$x^{2}+x-6\leq 0$

Note que temos uma inequação de 2º Grau em x, com o coefciente de x² sendo positivo. Então, a concavidade da parábola correspondente é voltada para cima. Logo, a solução que procuramos está entre as raízes da equação correspondente(quando o gráfico da parábola passa em cima ou abaixo do eixo das abcissas). Precisamos então encontrar as raízes dessa equação:

$x={\frac {-1\pm {\sqrt {1+24}}}{2.1}}={\frac {-1\pm 5}{2}}$

$x_{1}=-3$

$x_{2}=2$

$S_{3}=\left(x\in \Re /-3\leq x\leq 2\right)$

Acabamos de encontrar o valor para o qual x satisfaz a relação inicial, ou seja, mais uma restrição para o mesmo. Então, basta interseccionar S₂ com S₃ que obeteremos a solução final:

$S_{final}=\left(x\in \Re /1\leq x\leq 2\right)$

Assim sendo, nesse intervalo final temos apenas dois números inteiros: 1 e 2.

E assim terminamos o problema.

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Agradecimentos

• A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.