Guia de problemas matemáticos/Equações e inequações/O relógio atrasado

O problema

Um relógio indica dois minutos menos que a hora certa e adianta t minutos por dia. Se estivesse atrasado três minutos e adiantasse $t+{\frac {1}{2}}$ minutos por dia, então marcaria a hora certa exatamente um dia antes do que vai marcar. Calcule o tempo t, em minutos, que esse relógio adianta por dia.

A solução

Com os dados do enunciado, podemos montar um sistema de equações. Primeiramente, se o relógio está atrasado 2 minutos e adianta t minutos por dia, ele levará d dias para marcar a hora certa.

Se ele estivesse 3 minutos atrasado, e adiantasse $t+{\frac {1}{2}}$ minutos por dia, ele levaria d - 1 dias para marcar a hora certa.

Sendo assim, o sistema de equações é:

$d.t=2$

$\left(d-1\right).\left(t+{\frac {1}{2}}\right)=3$

Substituindo a primeira equação na segunda, vem:

$\left({\frac {2}{t}}-1\right).\left(t+{\frac {1}{2}}\right)=3$

$2+{\frac {1}{t}}-t-{\frac {1}{2}}=3$

$4t+2-2t^{2}-t=6t$

$2t^{2}+3t-2=0$

Chegamos numa equação do segundo grau. Aplicando a fórmula de Bháskara, temos que:

$t_{1}={\frac {1}{2}}minuto$

$t_{2}=-2minutos$

Como não existe a noção de tempo negativo, finalmente:

$t={\frac {1}{2}}minuto$

E o problema termina.

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Agradecimentos

• A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.