Guia de problemas matemáticos/Geometria plana/Ângulos na circunferência 2

O problema

Considere uma circunferência de centro O e diâmetro ABV. Tome um segmento BC tangente à circunferência, de modo que o ângulo BCA meça 30°. Seja D o ponto de encontro da circunferência como o segmento AC e DE o segmento paralelo a AB, com extremidades sobre a circunferência. Então calcule a medida do segmento DE.

Uma solução

Antes de qualquer coisa, vamos construir uma imagem de acordo com o enunciado do problema:

Imagem ilustrativa do problema.

Toda reta (ou segmento de reta) tangente a uma circunferência forma com o raio desta um ângulo reto. Sendo assim, se ACB vale 30°, BAC será igual a 60°. Também podemos perceber que o triângulo DEF é semelhante ao triângulo ABC. Sendo assim, EDF vale 60°. Então, o ângulo ADE vale 120°.

Agora, se nós traçarmos um segmento que ligue O a D, vê-se claramente que esse segmento será igual ao raio da circunferência. Bom, o ângulo oposto ao segmento OD é BAC, que vale 60°. Mas o segmento OA também é igual ao raio da circunferência. Pela Lei dos Senos (que enuncia, resumidamente: se dois lados de um triângulo possuem medidas iguais, os ângulos opostos a esses segmentos serão iguais) temos que o ângulo ADO também vale 60°. Ora, sabe-se também que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. Logo, o ângulo DOA também será igual a 60° e, voilá, temos uma triângulo eqüilátero, de lado igual ao raio da circunferência, ou seja, metade de AB.

Agora, vamos traçar o segmento OE. Ele, obviamente, será igual ao raio da circunferência. Como o ângulo ADO vale 60°, e ADE = 120°, o ângulo EDO também será igual a 60°. Mas ele é oposto ao segmento OE, que por ser igual ao raio da circunferência, é igual a OD. Lembra-se da Lei dos Senos? Pois então, o ângulo DEO será igual a 60°. Assim, o ângulo EOD também será de 60°.

Bom, todos esses ângulos de 60° estão opostos aos diversos segmentos iguais ao raio da circunferência, não é? Então, o ângulo EOD também estará oposto ao raio da circunferência, ou, em outras palavras, DE = metade da medida de AB.

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