Guia de problemas matemáticos/Geometria plana/Arcos de uma circunferência exteriores ao triângulo retângulo

O problema

Considere um triângulo retângulo e uma circunferência que passa pelos pontos médios dos seus três lados. Se x, y e z, (x < y < z) são as medidas dos arcos dessa circunferência, em graus, exteriores ao triângulo, então calcule a medida de z em função de x e y.

Uma solução

Para melhor trabalhar com esse problema, desenvolvi a imagem adiante:

Imagem ilustrativa.

Perceba que x = arco HD, y = arco EB e z = arco BF. Nós precisamos encontrar uma relação que satisfaça as condições do problema, ou seja, precisamos encontrar o valor de z em função de x e y. Para isso, teremos que, basicamente, trabalhar com os arcos, quer dizer, utilizar operações matemáticas que envolvam somente os arcos (sem trigonometria!). Antes, precisamos de uma informação que nos ajudará muito:

A medida de um ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade da respectiva medida do ângulo central, ou seja, a metade de seu arco correspondente.

Por exemplo, numa circunferência tem-se os pontos A e B. Então, temos um arco (ângulo que possui como lados OA e OB, sendo O o centro dessa circunferência) que mede k graus. Então, temos também vários (não somente um) ângulos que possuem como lados os segmentos AP e BP, sendo P um ponto qualquer da circunferência, diferente de A e B e não pertencente ao arco AB. Todos esses ângulos medem k/2 graus. Eu montei outra figura para ilustrar melhor isso:

Imagem ilustrativa dos ângulos inscritos numa circunferência. Note que $\alpha$ = 80°, sendo que todos os demais ângulos valem 40°.

Agora eu acho que podemos continuar nosso raciocínio sem problemas, auxiliados também pelo fato de a união dos pontos de intersecção da circunferência com o triângulo formar um retângulo...

Podemos então utilizar uma série de igualdades entre arcos para desenvolver a solução:

$arco(BF)=2.(B{\hat {E}}F)$

$arco(BE)=2.(B{\hat {F}}E)$

$arco(HD)=arco(DE)-arco(HE)$

$arco(DE)=2.(D{\hat {F}}E)=2.B{\hat {E}}F$

$B{\hat {A}}C=B{\hat {E}}F={\frac {BD-EH}{2}}$ - Essa operação é devida ao teorema dos ângulos excêntricos exteriores: dado um ponto P, exterior a uma circunferência, há duas retas secantes a essa circunferência a partir desse ponto. Se uma reta intercepta essa circunferência nos pontos A e C (PA < PC) e se a outra intercepta-a nos pontos B e D (PB < PD), o ângulo APB é igual à diferença de arcos (CD - AB)/2 (note que, nesse problema, as secantes são AB e AD, e o ângulo BPA é o ângulo BAC).

$arco(EH)=arco(BD)-2.B{\hat {E}}F$

$arco(EH)=2.B{\hat {F}}E$

Agora, como DE = 2.BEF = BF e EH = 2.BFE = BE, temos, pela terceira relação encontrada acima:

$arco(HD)=arco(BF)-arco(BE)$

Então:

$x=z-y$

Finalmente:

$z=x+y$

E terminamos o problema.

Caso você tenha uma outra solução, sinta-se livre para editar o artigo, apenas utilize a aba "Discussão" para discutir as soluções antes de alterar o tópico. Sinta-se livre também para comentar, criticar ou sugerir qualquer coisa.

Agradecimentos

• A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.