Guia de problemas matemáticos/Geometria plana/Arcos de uma circunferência exteriores ao triângulo retângulo

O problemaEditar

Considere um triângulo retângulo e uma circunferência que passa pelos pontos médios dos seus três lados. Se x, y e z, (x < y < z) são as medidas dos arcos dessa circunferência, em graus, exteriores ao triângulo, então calcule a medida de z em função de x e y.

Uma soluçãoEditar

Para melhor trabalhar com esse problema, desenvolvi a imagem adiante:

 
Imagem ilustrativa.

Perceba que x = arco HD, y = arco EB e z = arco BF. Nós precisamos encontrar uma relação que satisfaça as condições do problema, ou seja, precisamos encontrar o valor de z em função de x e y. Para isso, teremos que, basicamente, trabalhar com os arcos, quer dizer, utilizar operações matemáticas que envolvam somente os arcos (sem trigonometria!). Antes, precisamos de uma informação que nos ajudará muito:

A medida de um ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade da respectiva medida do ângulo central, ou seja, a metade de seu arco correspondente.[1]

Por exemplo, numa circunferência tem-se os pontos A e B. Então, temos um arco (ângulo que possui como lados OA e OB, sendo O o centro dessa circunferência) que mede k graus. Então, temos também vários (não somente um) ângulos que possuem como lados os segmentos AP e BP, sendo P um ponto qualquer da circunferência, diferente de A e B e não pertencente ao arco AB. Todos esses ângulos medem k/2 graus. Eu montei outra figura para ilustrar melhor isso:

 
Imagem ilustrativa dos ângulos inscritos numa circunferência. Note que   = 80°, sendo que todos os demais ângulos valem 40°.

Agora eu acho que podemos continuar nosso raciocínio sem problemas, auxiliados também pelo fato de a união dos pontos de intersecção da circunferência com o triângulo formar um retângulo...

Podemos então utilizar uma série de igualdades entre arcos para desenvolver a solução:

 

 

 

 

  - Essa operação é devida ao teorema dos ângulos excêntricos exteriores: dado um ponto P, exterior a uma circunferência, há duas retas secantes a essa circunferência a partir desse ponto. Se uma reta intercepta essa circunferência nos pontos A e C (PA < PC) e se a outra intercepta-a nos pontos B e D (PB < PD), o ângulo APB é igual à diferença de arcos (CD - AB)/2 (note que, nesse problema, as secantes são AB e AD, e o ângulo BPA é o ângulo BAC).


 

 


Agora, como DE = 2.BEF = BF e EH = 2.BFE = BE, temos, pela terceira relação encontrada acima:


 

Então:

 

Finalmente:

 

E terminamos o problema.


Caso você tenha uma outra solução, sinta-se livre para editar o artigo, apenas utilize a aba "Discussão" para discutir as soluções antes de alterar o tópico. Sinta-se livre também para comentar, criticar ou sugerir qualquer coisa.

AgradecimentosEditar

  • A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.

ReferênciasEditar

  1. Jader Otávio Dalto, Sônia F. L. Toffoli e Ulysses Sodré, in Matemática Essencial: Geometria: Círculo, circunferência e arcos.