Guia de problemas matemáticos/Geometria plana/Triângulo com lados iguais às medianas de outro

O problema

Considere os triângulos ABC e MNP. Se as medidas dos lados do segundo triângulo são, respectivamente, iguais às medidas das medianas do primeiro, então calcule a razão da área de MNP para a de ABC.

Uma solução

O enunciado do problema não tomou como base um triângulo isolado. Então, podemos inferir que tal razão será equivalente para qualquer triângulo. Portanto, a maneira mais simples de encontrar a resposta é imaginando que o triângulo ABC seja eqüilátero.

Com ABC sendo eqüilátero, todas as medianas possuirão medidas iguais, que, por sua vez, serão iguais à altura do mesmo. Como a altura do triângulo eqüilátero é dada por $h={\frac {l{\sqrt {3}}}{2}}$, na qual l é o lado do triângulo, essa será a medida das medianas e, conseqüentemente, dos lados do triângulo MNP.

Temos ainda que a área do triângulo eqüilátero é dada por $A={\frac {l^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$, onde l representa o lado do triângulo. Assim sendo, pela área do triângulo MNP podemos calcular a razão pedida pelo problema (chamando o lado desse triângulo de m):

$A_{MNP}={\frac {m^{2}{\sqrt {3}}}{4}}\longrightarrow A_{MNP}={\frac {\left({\frac {l{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{2}.{\sqrt {3}}}{4}}\longrightarrow A_{MNP}={\frac {\frac {3l^{2}{\sqrt {3}}}{4}}{4}}$

Lembrando que $A_{ABC}={\frac {l^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$ :

$A_{MNP}={\frac {3.A_{ABC}}{4}}$

${\frac {A_{MNP}}{A_{ABC}}}={\frac {3}{4}}$

E assim terminamos o problema.

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Agradecimentos

• A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.