Introdução à física/Gravitação universal/Movimento dos corpos celestes

O movimento dos corpos celestes ao redor das estrelas é dado pela lei da gravitação universal, em que o campo gravitacional da estrela atrai os demais corpos celestes. O mesmo ocorre com os satélites planetários: o campo gravitacional do sol e do planeta faz o satélite o orbitar.

Excentricidade das órbitas no sistema solar.

A inclinação da eclíptica terrestre forma as estações do ano.

Órbitas planetárias

Conforme a primeira lei de Kepler, as órbitas dos planetas e dos satélites não são perfeitamente circulares. Elas apresentam excentricidade, e sua trajetória aproxima-se a formatos elípticos. Além disso, as estrelas não se localizam exatamente no centro da órbita. Dá-se o nome de afélio ao ponto em que o planeta está mais distante do sol, e periélio ao ponto onde o planeta está mais próximo ao sol. As órbitas também podem ter inclinação, o que dá origem a diferentes temperaturas no decorrer do ano planetário, em diferentes hemisférios. Em uma órbita perfeitamente circular, o deslocamento de um corpo celeste durante um ano astral é dado pela seguinte equação:

$S=2\pi r$

Na qual:

• S é o deslocamento;
• r é o raio da órbita.

Equação básica

As três equações que representam o movimento dos corpos celestes, são baseadas em uma equação básica. Nesta, considera-se que a órbita dos corpos celestes é circularmente perfeita, e que somente a força da estrela define o movimento.

Ao mesmo tempo em que a estrela atrai o planeta para perto de si, o planeta faz uma força repulsória. No caso dos satélites, os planetas os atraem. Já em um corpo celeste de órbita perturbada, este somente terá uma órbita imutável quando a força resultante for zero. Assim:

$F_{c}=F_{g}$

Velocidade

A velocidade que um corpo celeste segue em sua trajetória ao redor do sol ou de um planeta é variável. A segunda lei de Kepler descreve a velocidade. A velocidade média de um corpo celeste, que tenha sua órbita perfeitamente circular, é dada pela resultante das forças:

$F_{c}=F_{g}$

Então:
${\frac {mv^{2}}{r}}={\frac {GMm}{r^{2}}}$

Eliminado-se as mesmas variáveis:
${v^{2}}={\frac {GM}{r}}$

Logo,
$v={\sqrt {\frac {GM}{r}}}$

Em que:

• v é a velocidade, em metros por segundo;
• G é a constante gravitacional, igual a 6,67 x 10^-11;
• M é a massa da estrela, em quilogramas;
• r é o raio da órbita, em metros;

Observe que, em planetas de um mesmo sistema, o que define a velocidade é o raio entre o planeta e a estrela.

Energia cinética

A energia cinética pode ser descoberta:

Como
$E_{c}={\frac {mv^{2}}{2}}$

Então
$E_{c}={\frac {m{\sqrt {\frac {GM}{r}}}^{2}}{2}}$

Assim,
$E_{c}={\frac {GMm}{2r}}$

Período sinódico

Em um corpo celeste qualquer, o período sinódico (ou de revolução) é igual a um ano astral. Um ano equivale a uma volta completa de um planeta ao redor da estrela, ou de um satélite ao redor do planeta. O período orbital é descrito na terceira lei de Kepler. Em um corpo celeste que tenha sua órbita perfeitamente circular, o tempo de um ano é dado por:

$t={\frac {S}{v}}$

Substituindo-se:
$t={\frac {2\pi r}{\sqrt {\frac {GM}{r}}}}$

Logo,
$t={\frac {2\pi r{\sqrt {r}}}{\sqrt {GM}}}$

Então:
$t=2\pi {\sqrt {\frac {r^{3}}{GM}}}$

Onde:

• t é o tempo em segundos;
• r é o raio da órbita, em metros;
• G é a constante gravitacional, igual a 6,67 x 10^-11;
• M é a massa da estrela, em quilogramas.