Introdução aos Conceitos de Filosofia/Lição IV

Raciocínios dedutivos, indutivos e abdutivosEditar

Indução MatemáticaEditar

Quando o grande matemático alemão Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ainda era um jovem estudante do primário, seu professor passou uma árdua tarefa para a classe, somar todos os números Naturais de 1 a 100, ou seja, 1+2+3+4+5+...+96+97+98+99+100.

Contudo, Gauss retornou rapidamente com a resposta, 5050. Seu raciocínio foi o seguinte:

1+100=101
2+99=101
3+98=101
...

Ou seja, a somatória de todos os números Naturais de 1 a 100 é o mesmo que 50 adições cujo resultado é 101. Portanto:

 

Não é necessário ser um gênio como Gauss para passar a aplicar este princípio a outras somatórias de números Naturais consecutivos começando por 1. Por exemplo:

 


 

Podemos generalizar isto assim:

 

Ou seja, toda somatória de números Naturais consecutivos de 1 a n resulta em n+1 vezes a metade de n.

Mas como provar isto com todo o rigor necessário para a Matemática?

Podemos fazê-lo por meio da Indução Infinita.

Indução Infinita consiste em um método de prova no qual, dado um conjunto infinito - neste caso,   - dada um propriedade  , se   for verificada para o primeiro elemento de do conjunto, e se for verificado que se   vale para o k-ésimo elemento, então vale para o k-ésimo-primeiro, está provado que   vale para todos os elementos do conjunto em questão.

Em termos mais simples, se verificada a propriedade   no primeiro elemento do conjunto, e se da hipótese que um elemento qualquer do conjunto verifica   for derivado que o sucessor deste também verifica  , está provado que todos os elementos verificam  .

Exemplo:

  • Tese:

 

Para  

 

 


 


  • Hipótese:

 

 

 

 

 

 

O que prova a tese.

Problema da induçãoEditar

 

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