Lógica/Princípio da Explosão, Lei de Dun Scot, Prefixação e as propriedades antiintuitivas da implicação

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Princípio da Explosão

Ex contradictione (sequitur) quodlibet

Existe uma tautologia bastante "estranha" - ou melhor, expressa uma perplexidade lógica - conhecida como princípio da explosão:$\left(\alpha \land \neg \alpha \right)\to \beta$

$\mathbf {F} \quad \left(\alpha \land \neg \alpha \right)\to \beta \quad \mathbf {ok}$

$\mathbf {V} \quad \left(\alpha \land \neg \alpha \right)\quad \mathbf {ok}$

$\mathbf {F} \quad \beta$

$\mathbf {V} \quad \alpha$

$\mathbf {V} \quad \neg \alpha \quad \mathbf {ok}$

$\mathbf {F} \quad \alpha$

$\times$

α	β	¬α	α∧¬α	(α∧¬α)→β
V	V	F	F	V
V	F	F	F	V
F	V	V	F	V
F	F	V	F	V

Isto pode nos deixar mais perplexos se vermos que é válido o seguinte argumento:

$\left\{A,\neg A\right\}\vDash B$

ou

$A\land \neg A\vDash B$

Veja que eles são válidos:

$\mathbf {V} \quad A\land \neg A\quad \mathbf {ok}$

$\mathbf {F} \quad B$

$\mathbf {V} \quad A$

$\mathbf {V} \quad \neg A\quad \mathbf {ok}$

$\mathbf {F} \quad A$

$\times$

Existem duas coisas muito estranhas neste argumento:

1º) A presença de uma contradição ou fórmulas contraditórias entre si como premissas.

2º) A ocorrência de um termo na conclusão que não aparece nas premissas.

Quer dizer, temos que aceitar como válido, segundo os princípios do CPC, o seguinte argumento:

Eu existo.

Eu não existo.

Logo, o céu é azul.

Muitos devem ter indagado:

- Oras! A definição de validade lógica de um argumento é que ele é válido se, e somente se, caso as premissas sejam verdadeiras, a conclusão é necessariamente verdadeira. Mas neste caso as premissas nunca são (ambas) verdadeiras. Como ele pode ser válido?

O fato é que "num argumento logicamente válido, sempre que as premissas forem verdadeiras, a conclusão é necessariamente verdadeira" é equivalente a "num argumento logicamente válido, nunca as premissas serão verdadeiras enquanto a conclusão é falsa".

E como está evidente na tabela seguinte, neste argumento, as premissas nunca são (ambas) verdadeiras enquanto a conclusão é falsa:

α	β	¬α	α∧¬α
V	V	F	F
V	F	F	F
F	V	V	F
F	F	V	F

Pode parecer um argumento inútil. Afinal, quem argumentaria com premissas cuja falsidade é evidente pela própria estrutura? Mas ele expressa algo muito interessante: pela lógica clássica, sistemas que aceitam contradição devem aceitar qualquer teorema. Em outras palavras: inconsistência implica trivialidade.

Isto não ocorre nas lógicas paraconsistentes (ver: Lógica/Lógicas não-clássicas).

Lei de Dun Scot

Ex falso quodlibet

Mais uma tautologia "estranha": $\neg \alpha \to \left(\alpha \to \beta \right)$

$\mathbf {F} \quad \neg \alpha \to \left(\alpha \to \beta \right)\quad \mathbf {ok}$

$\mathbf {F} \quad \neg \alpha \quad \mathbf {ok}$

$\mathbf {F} \quad \alpha \to \beta \quad \mathbf {ok}$

$\mathbf {F} \quad \alpha$

$\mathbf {V} \quad \beta$

$\mathbf {V} \quad \alpha$

$\times$

Ela expressa a seguinte perplexidade: "Se α é falso, então α implica qualquer coisa". O que, assim como o Princípio da Explosão, é decorrência do fato que se o antecedente é falso, a implicação é verdadeira, seja o conseqüente falso ou verdadeiro.

Prefixação

Mais uma tautologia envolvendo a implicação que pode nos deixar perplexos: $\alpha \to \left(\beta \to \alpha \right)$

$\mathbf {F} \quad \alpha \to \left(\beta \to \alpha \right)\quad \mathbf {ok}$

$\mathbf {V} \quad \alpha \,\!$

$\mathbf {F} \quad \beta \to \alpha \quad \mathbf {ok}$

$\mathbf {V} \quad \beta \,\!$

$\mathbf {F} \quad \alpha \,\!$

$\times$

Ela expressa a seguinte perplexidade: "Se α é verdadeiro, então qualquer coisa implica α". O que é decorrência do fato que uma implicação é verdadeira se o conseqüente for verdadeiro

Propriedades antiintuitivas da Implicação

A função de verdade da implicação pode ser expressa assim:

$\neg \left(\alpha \land \neg \beta \right)$

Ou seja: É falso que $\alpha \,\!$ seja verdadeiro e $\beta \,\!$ seja falso.

Basta fazer a tabela de verdade para verificar que $\neg \left(\alpha \land \neg \beta \right)$ é equivalente a $\alpha \to \beta$:

A	B	¬B	A∧¬B	¬(¬A∧B)	A→B
V	V	F	F	V	V
V	F	V	V	F	F
F	V	F	F	V	V
F	F	V	F	V	V

A função de verdade da implicação expressa justamente: “Se o antecedente é verdadeiro, o conseqüente também é verdadeiro”. O que só é falso se o antecedente for verdadeiro e o conseqüente não.

Repare a semelhança disto com a definição de argumento logicamente válido: “um argumento é logicamente válido se sempre que as premissas forem verdadeiras, a conclusão é necessariamente verdadeira". É devido a isto que, se uma fórmula formada por uma implicação é válida, então um argumento onde o antecedente desta fórmula seja a premissa e o conseqüente da mesma seja a conclusão é logicamente válido. Isto consiste no teorema da dedução: se $\vDash \alpha \to \beta$, então $\alpha \vDash \beta$, e se $\vdash \alpha \to \beta$, então $\alpha \vdash \beta$ Ex:

$\vDash \alpha \to \alpha$

$\alpha \vDash \alpha$

$\vDash \alpha \to \neg \neg \alpha$

$\alpha \vDash \neg \neg \alpha$

$\vDash \neg \neg \alpha \to \alpha$

$\neg \neg \alpha \vDash \alpha$

$\vDash \left(\alpha \land \left(\alpha \to \beta \right)\right)\to \beta$

$\alpha \ ,\alpha \to \beta \vDash \beta$

$\vDash \left(\neg \beta \land \left(\alpha \to \beta \right)\right)\to \neg \alpha$

$\neg \beta \ ,\alpha \to \beta \vDash \neg \alpha$

etc.

Lembrando que na lógica clássica:

$\Gamma \vdash \alpha$ se e somente se $\Gamma \vDash \alpha$

$\vdash \alpha$ se e somente se $\vDash \alpha$

Digamos que para sumir com a propriedade antiintuitiva em questão - se o antecedente é falso, a implicação é verdadeira – venhamos a redefinir a implicação de forma tal que quando o antecedente é falso, o valor da fórmula é “indeterminado”:

A	B	A→B
V	V	V
V	F	F
F	V	I
F	F	I

Neste caso, temos uma lógica não-clássica trivalente, na qual não vale o princípio de bivalência nem o do terceiro excluído.

Outra possibilidade seria redefinir a implicação de forma tal que quando o antecedente é falso, o valor da fórmula é indeterminável (ver: indeterminação ontológica e epistemológica):

A	B	A→B
V	V	V
V	F	F
F	V	?
F	F	?

Neste caso o que estamos chamando de “implicação” não é uma função de verdade.

$A\to A$ não seria uma tautologia, $Pa\to \exists xPx$ não seria válida, o argumento $\left\{\neg B\ ,A\to B\right\}\vDash \neg A$ seria inválido, e o argumento $\left\{B\ ,A\to B\right\}\vDash A$ seria válido:

A	A→A
V	V
F	?

A	B	¬A	¬B	A→B
V	V	F	F	V
V	F	F	V	F
F	V	V	F	?
F	F	V	V	?

E ainda haveria a função de verdade “Se o antecedente é verdadeiro, o conseqüente também é verdadeiro”. E esta função de verdade seria capaz de ser usada para formular tautologias e argumentos válidos que o que acabamos de rotular de implicação não poderia.

Ou seja, isto não consistiria numa solução para as propriedades antiintuitivas da implicação. Apenas a adição de um operador inútil no sistema.

Parte 2

Outra perplexidade da implicação é, dadas quaisquer duas verdades num sistema, a implicação de uma na outra é verdadeira.

Lembrando que o desenvolvimento da lógica clássica por Frege tinha como objetivo lidar apenas com a aritmética. Neste caso, a implicação entre sentenças distintas não gera perplexidade. Ex: Se 2 é par, então 11 é primo. Afinal, tanto que “2 é par” quanto “11 é primo” derivam dos mesmos axiomas da aritmética.

Contudo, ao aplicarmos a lógica clássica a sistemas mais abrangentes, como “conhecimento geral de mundo”, teremos implicações que são verdadeiras e antiintuitivas. Por exemplo: “Se o céu é azul, então Espinoza é filósofo”, “Se Kant é alemão, então a Lua é satélite da Terra” etc. Por um lado, se interpretarmos $\alpha \to \beta$ como “se o antecedente (α) é verdadeiro, o conseqüente (β) também é verdadeiro” não temos problema algum. Por outro, se interpretarmos $\alpha \to \beta$ como “α implica em β” ou “de α se deduz β”, então temos um problema em valorar como verdadeiro uma implicação entre duas sentenças verdadeiras mas desconexas.

Isto indica um limite de aplicabilidade da lógica clássica: algumas interpretações da implicação só fazem sentido em sistemas nos quais as sentenças tenham conexão.

Inspirado neste “paradoxo da implicação” (que não é propriamente um paradoxo, ver Paradoxos), I. C. Lewis formulou um sistema de lógica modal na qual aparece a implicação estrita.

Lógicas modais são tratadas mais profundamente em Lógica/Lógicas não-clássicas. Aqui, basta esclarecer que neste sistema aparecem três novos operadores: $\Box$, $\Diamond$ e $\prec$. Funcionam assim:

$\Box \alpha$ significa “α é necessário”.

$\Diamond \alpha$ significa “α é possível”.

$\alpha \prec \beta$ significa “α implica estritamente β”. O que é equivalente a $\neg \Diamond \left(\alpha \land \neg \beta \right)$

Ou seja, não é possível α ser verdade e β ser falsidade.

A lógica modal de Lewis permite a formalização de sistemas nos quais as sentenças podem ou não ter uma conexão. Contudo, alguns resultados antiintuitivos da implicação têm suas versões na implicação estrita. Ex:

$\Box \alpha \prec \left(\beta \prec \alpha \right)$

Ou seja: uma proposição (ou fórmula) necessária é implicada estritamente por qualquer proposição.

$\neg \Diamond \alpha \prec \left(\alpha \prec \beta \right)$

Ou seja: uma proposição impossível implica qualquer proposição.

Questões Filosóficas

Até que ponto o intuitivo é relevante a uma ciência?

A intuição é uma garantia racional da verdade ou falsidade de algo?

Ou a intuição é apenas uma conformação com o usual, dentro do qual apenas algumas verdades garantidas pela razão (por outros meios) se encontram?

Se for o caso, não bastaria simplesmente, ao aplicar a lógica na retórica, ignorar argumentos antiintuitivos - ex: $\left\{A\land \neg A\right\}\vDash B$ , $A\vDash B\to A$ , $\neg A\vDash A\to B$ etc. - assim como são ignorados argumentos válidos e intuitivos, mas inúteis para a retórica - ex: $A\vDash A$ , $A\land B\vDash A$ , $\left\{A,B\right\}\vDash A\land B$, $A\vDash A\lor B$ etc. - ?

Por outro lado, até que ponto uma ciência que se propõe a estudar a validade formal dos raciocínios pode ignorar a intuição?