Logística/Localização/Localização minisoma de múltiplas instalações/Localização minisoma de múltiplas instalações com distâncias euclideanas

Um problema de múltiplas instalações com distâncias euclideanas pode ser formulado da seguinte forma (Francis et al., 1974, p. 227):

$WM(X)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}w_{1ij}[(x_{i1}-a_{j1})^{2}+(x_{i2}-a_{j2})^{2}]^{1/2}+\sum _{i=1}^{m-1}\sum _{r={i+1}}^{m}w_{2ir}[(x_{i1}-x_{r1})^{2}+(x_{i2}-x_{r2})^{2}]^{1/2}$

Onde:

m é o número de novas instalações;

n é o número de instalações já existentes;

$\ w_{1ij}$ é a conversão da grandeza distância entre uma nova instalação $\ i$ e uma instalação já existente $\ j$ em valores de custos, com $w_{1ij}\geq 0$;

$\ w_{2ir}$ é a conversão da grandeza distância entre uma nova instalação $\ i$ e outra nova instalação $\ r$ em valores de custos, com $w_{2ir}\geq 0$;

$\ (x_{i1},x_{i2})$ é a localização da nova instalação $\ i$;

$\ (a_{j1},a_{j2})$ é a localização da instalação já existente $\ j$;

As condições necessárias para que as localizações das novas instalações sejam óptimas são dadas pelas derivadas parciais $\ \partial f \over \partial x_{f}$ e $\ \partial f \over \partial y_{j}$:

$\ \partial f \over \partial x_{f}$ = $\ \sum _{i=1}^{m}{{w_{1ij}(x_{i1}-a_{j1})} \over E_{ij}}+\sum _{k=1}^{n}{w_{2ir}(x_{i1}-x_{r1}) \over D_{ir}},j=1,...,n$

e

$\ \partial f \over \partial y_{j}$ = $\ \sum _{i=1}^{m}{{w_{1ij}(x_{i2}-a_{j2})} \over E_{ij}}+\sum _{k=1}^{n}{w_{2ir}(y_{i2}-y_{r2}) \over D_{ir}},j=1,...,n$

onde:

$\ E_{ij}=[(x_{i1}-a_{j1})^{2}+(x_{i2}-a_{j2})^{2}]^{1/2}$

e

$\ D_{ir}=[(x_{i1}-x_{r1})^{2}+(x_{i2}-x_{r2})^{2}]^{1/2}$

O modelo de distâncias euclidianas assemelha-se essencialmente ao modelo de distâncias rectilíneas, para o caso em que todas as instalações existentes são colineares, ou seja, quando todas ligarem numa única linha. Para este caso, é possível escolher várias posições pois todas as instalações existentes poderão estar ao longo do eixo dos $\ x$. Assim pode-se representar os pontos como $\ (a_{1},0),...,(a_{m},0)$ para os valores entre $\ a_{1}$ e $\ a_{m}$ (Francis et al., 1992, p. 368).