Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias

IntroduçãoEditar

Equações diferenciais ordinárias (EDO´s) podem se tornar complexas para serem calculadas através de métodos analíticos, por conta disso alguns dos principais matemáticos também despenderam seu precioso tempo para encontrar maneiras mais rápidas e fáceis de se obter a resolução de EDO´S de primeira ordem. Nessa secção estaremos analisando três dos principais métodos elaborados para solucionar tais problemas,a saber, o método de Euler, o método de Euler aperfeiçoado e o método de Runge Kutta.

Problema de condições iniciaisEditar

Um problema de valor inicial (PVI) nada mais é que uma EDO acompanhada de uma condição inicial. Condição inicial é um ponto x (numa função f(x)) que pertence ao domínio da função f(x) que é solução do PVI.

Por exemplo: se conhecemos a função velocidade   podemos perguntar qual será a posição   de uma partícula no instante  . A equação diferencial a resolver será:

 ,

Cuja solução é  .

A posição inicial é necessária para definir unicamente a solução do problema.

Método de EulerEditar

A fórmula que rege esse método é a seguinte
  (1.1),

Onde y é igual a f(x) e h é um valor denominado passo; e f(yn, tn) = y'.

A origem da fórmula é a expansão em série de Taylor, da qual retemos apenas o termo de primeira ordem. Vejamos como utilizá-la.

Imagine o gráfico da EDO y'= f'(x), e que em seu domínio existam dois pontos x1 e x2 ; x1 será a coordenada x da condição inicial e x2 é o valor para o qual você deseja a solução do PVI, o passo é um valor que fará um incremento no valor de x1 até que este chegue até x2 nos cálculos seguintes.

O número de incrementos portanto é definido por
(x2 - x1)/h (1.2).

Torne a EDO do PVI em função de yn (observe que este é um termo da fórmula acima).Determine o número de passos pela fórmula 1.2. Feito isto podemos iniciar os cálculos para determinar o valor do PVI para determinado valor de x. A fórmula do método será repetida por várias vezes, portanto por ser um método massivo, seria interessante a utilização de planilhas de cálculo. Para utilizarmos 1.1 devemos primeiramente calcular os valores de yn e y'n. Para a primeira linha do cálculo temos que yn = (y da condição inicial) e y´n é calculado a partir da EDO do PVI para os valores x e y da condição inicial.

Calculados estes dois termos, devemos substituí-los em 1.1, tendo assim efetuado a primeira linha do cálculo, o próximo passo é o cálculo da primeira iteração. Para a primeira iteração temos que  calculado na linha anterior e y´n é calculado a partir da EDO do PVI para os valores x + h e (yn+1) da linha de comando anterior; calculados estes dois termos, novamente devemos substituídos em 1.1 e assim terminamos a primeira interação. A segunda iteração tem uma sistemática idêntica a da primeira iteração. Assim iterações sucessivas são executadas até que se atinja a iteração limite calculada anteriormente pela fórmula 1.2; alcançado este valor limite de iteração, o y desejado será o valor da fórmula 1.1 da linha anterior.

Métodos de TaylorEditar

Método de Runge-KuttaEditar

A sistemática de resolução do método de Euler é a mesma que será utilizada para o Método de Runge-Kutta. Porém aqui os termos intermediários serão determinados pelas seguintes fórmulas:[1]

 
 
 
 
 

onde,   denota o tamanho do passo.

Problema de condições na fronteiraEditar

Método do tiroEditar

NotasEditar

  1. S. D. Conte; Carl de Boor. Elementary Numerical Analysis. 1980. 3ed. p. 365-366
 

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