Matemática divertida/O número mágico

1089, o número mágico

O truque

Peça a alguém para que pense em um número de três dígitos, de tal modo que o primeiro dígito seja diferente do último. Por exemplo, $123$ . Em seguida, peça para que inverta a posição dos dígitos, neste caso, será $321$ .

Como o primeiro dígito é diferente do último, os dois números serão diferentes, de modo que um será maior que o outro. Subtraia o menor do maior, no caso $321-123=198$ .

Novamente, troque a ordem dos dígitos, mas desta vez, com o resultado. Aqui, ficará $891$ .

Some o resultado da subtração com o número obtido nesta última permuta.

O resultado sempre será $1089$ .

Mas atenção, caso o número de três dígitos seja um palíndromo, então o truque não funciona! Números palíndromos ou capicuas, são números que se lidos de trás para frente são iguais, exemplos: Capicuas com 3 dígitos

010 020 030 040 050 060 070 080 090
101 202 303 404 505 606 707 808 909
111 212 313 414 515 616 717 818 919
121 222 323 424 525 626 727 828 929
131 232 333 434 535 636 737 838 939
141 242 343 444 545 646 747 848 949
151 252 353 454 555 656 757 858 959
161 262 363 464 565 666 767 868 969
171 272 373 474 575 676 777 878 979
181 282 383 484 585 686 787 888 989
191 292 393 494 595 696 797 898 999

Assim o resultado obtido na subtração é igual a ZERO, $656-656=0$ .

Demonstração

Seja o número original da forma $a*100+b*10+c,$ com $0\leq a,b,c\leq 9.$

O número com os dígitos em ordem inversa será $c*100+b*10+a.$

Subtraindo um de outro, supondo $a>c,$ conseguiremos $(a-c)*100+(b-b)*10+(c-a)=(a-c)*100+(c-a).$

Subtraindo $100$ da primeira parcela e somando ao final da expressão será $(a-c-1)*100+(c-a)+100.$

Ou seja $(a-c-1)*100+9*10+(c-a+10).$

Deste modo, como $a>c,$ então $a\geq c+1ea-c-1\geq 0.$ Além disso, $a>c$ , então, $c-a<0.$ Como $a\leq 9$ e $0\leq c,$ então $-a\geq -9$ e $c-a\geq -9,$ logo $-9\leq c-a<0,$ então, $1\leq c-a+10\leq 9.$