Matemática elementar/Conjuntos/Números complexos

O conjunto dos números complexos $\mathbb {C}$ é a extensão dos números reais. Esta extensão é toda construída a partir de um elemento novo, a unidade imaginária $i$. Tipicamente, números deste conjunto são designados por z, mas é permitido utilizar qualquer signo para representá-los.

O número imaginário

A unidade imaginária i - que define os números complexos - tem o valor de √-1. Para esta, então, podemos considerar todas as regras de radiciação. Observe o exemplo abaixo:

${\sqrt {-4}}={\sqrt {4}}{\sqrt {-1}}=\pm 2i$

Desta forma, raízes negativas podem ser facilmente reduzidas a um número complexo. Esta característica é muito utilizada para descobrir raízes de funções em que o discriminante é menor que zero. Por exemplo, as raízes de f(x) = x² + 9 são dadas por

$f(0)={\frac {\pm {\sqrt {-4\times 1\times 9}}}{2}}={\frac {\pm {\sqrt {-36}}}{2}}={\frac {\pm {\sqrt {36}}{\sqrt {-1}}}{2}}={\frac {\pm 6i}{2}}=\pm 3i$

A oposição entre o afixo e o conjugado.

Soma por um número real

A soma de um número imaginário por um número real origina o afixo do número complexo z. Desta forma, em um número complexo z cujo afixo é dado por a + bi, teremos a como a parte real (denotada por Re), e b a parte imaginária (denotada por Im). Desta forma, teremos:

• b igual a zero para um número real qualquer;
• a igual a zero para um número imaginário puro qualquer.

Já para a - bi, teremos o conjugado do número complexo. O conjugado de um número complexo z é dado por z. Por exemplo, o conjugado do número z = 2 - i é

${\overline {z}}=2-(-i)$

Que resulta em z = 2 + i.

Operações com os complexos

Soma e subtração

O seguinte fragmento resume a soma e a subtração dos números complexos:

A parte real a₁ soma-se à parte real a₂, enquanto a parte imaginária b₁ soma-se à parte imaginária b₂.

Por exemplo, considere os números complexos z₁ e z₂, para z₁ = -2 + 4i e z₂ = -3 - i, então z₁ + z₂ =

${\begin{cases}\operatorname {Re} =-2{\color {Red}+}(-3)=-5\\\operatorname {Im} =4i{\color {Red}+}(-i)=3i\end{cases}}$

Conclui-se a soma pela obtenção de -5 + 3i.

A subtração pode ser deduzida a partir da adição. Veja a diferença entre z₁ e z₂:

${\begin{cases}\operatorname {Re} =-2{\color {Red}-}(-3)=1\\\operatorname {Im} =4i{\color {Red}-}(-i)=5i\end{cases}}$

Que é igual a 1 + 5i.

Multiplicação

A própria definição do conjunto dos números complexos reside na multiplicação. Assim, definimos o conjunto dos números complexos como tendo a seguinte operação de multiplicação:

A parte real a₁ é multiplicada pela parte real a₂ e pela parte imaginária b₂, somando-se, então, o produto entre a parte imaginária b₁ e a parte real a₂, bem como o produto entre b₁ e b₂.

Na prática, isto resume-se na multiplicação distributiva:

$z_{1}z_{2}=(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=a_{1}a_{2}+a_{1}b_{2}i+a_{2}b_{1}i+b_{1}b_{2}i^{2}$

Exemplo: z₁z₂, para z₁ = 2 + i e z₂ = -1 + 2i:

$z_{1}z_{2}=-2+4i-i+2i^{2}=-2+3i+2i^{2}=-2+(3+2i)i$

Potenciação

Você deve ter notado a presença de expoente acima da unidade imaginária no exemplo anterior. A potência pode e deve ser resolvida. Facilmente ela pode ser deduzida. Veja:

$i^{0}=1$

$i^{1}={\sqrt {-1}}$

$i^{2}=({\sqrt {-1}})^{2}=-1$

$i^{3}=i^{2}i^{1}=-1{\sqrt {-1}}=-i$

Para expoentes maiores que três (x), a seguinte operação é válida:

$i^{x}=i^{x-4k-1}=i^{y}$

Em que k é o maior inteiro possível para {y ∈ N| 0 ≤ y ≤ 3}. Por exemplo, i²⁰:

$i^{20}=i^{20-4k-1}=i^{19-4k}=i^{19-16}=i^{3}=-i$

Divisão

A divisão de números complexos pode ser feita pelo método da chave. Entretanto, esta última muitas vezes pode ser demorada até que se obtenha resto igual a zero. Geralmente, o método aplicado consiste na multiplicação do denominador e numerador pelo conjugado do divisor. Exemplo:

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {2+3i}{-1+2i}}$

O conjugado do divisor é igual a -1 - 2i. Portanto:

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {z_{1}}{z_{2}}}\times {\frac {\bar {z_{2}}}{\bar {z_{2}}}}={\frac {2+3i}{-1+2i}}\times {\frac {-1-2i}{-1-2i}}={\frac {-2-4i-3i-6i^{2}}{(-1)^{2}-(2i)^{2}}}={\frac {4-7i}{5}}$

Representação geométrica

É denominado de norma de um complexo z, dado por $z=a+bi$ , o quadrado da parte real somada ao quadrado da parte imaginária, ou seja, $N(z)=a^{2}+b^{2}$.

E, denomina-se módulo (ou valor absoluto) de z, ao seguinte real e positivo:

$|z|=\surd N(z)=\surd (a^{2}+b^{2})$

Veja o módulo que trata sobre o plano de Argand-Gauss.

Veja também

Uma abordagem mais avançada dos números complexos pode ser vista no livro Análise complexa/Introdução.