Matemática elementar/Conjuntos/Números complexos

O conjunto dos números complexos é a extensão dos números reais. Esta extensão é toda construída a partir de um elemento novo, a unidade imaginária . Tipicamente, números deste conjunto são designados por z, mas é permitido utilizar qualquer signo para representá-los.

O número imaginárioEditar

A unidade imaginária i - que define os números complexos - tem o valor de -1. Para esta, então, podemos considerar todas as regras de radiciação. Observe o exemplo abaixo:

 

Desta forma, raízes negativas podem ser facilmente reduzidas a um número complexo. Esta característica é muito utilizada para descobrir raízes de funções em que o discriminante é menor que zero. Por exemplo, as raízes de f(x) = x2 + 9 são dadas por

 
 
A oposição entre o afixo e o conjugado.

Soma por um número realEditar

A soma de um número imaginário por um número real origina o afixo do número complexo z. Desta forma, em um número complexo z cujo afixo é dado por a + bi, teremos a como a parte real (denotada por Re), e b a parte imaginária (denotada por Im). Desta forma, teremos:

  • b igual a zero para um número real qualquer;
  • a igual a zero para um número imaginário puro qualquer.

Já para a - bi, teremos o conjugado do número complexo. O conjugado de um número complexo z é dado por z. Por exemplo, o conjugado do número z = 2 - i é

 

Que resulta em z = 2 + i.

Operações com os complexosEditar

Soma e subtraçãoEditar

O seguinte fragmento resume a soma e a subtração dos números complexos:

A parte real a1 soma-se à parte real a2, enquanto a parte imaginária b1 soma-se à parte imaginária b2.

Por exemplo, considere os números complexos z1 e z2, para z1 = -2 + 4i e z2 = -3 - i, então z1 + z2 =

 

Conclui-se a soma pela obtenção de -5 + 3i.

A subtração pode ser deduzida a partir da adição. Veja a diferença entre z1 e z2:

 

Que é igual a 1 + 5i.

MultiplicaçãoEditar

A própria definição do conjunto dos números complexos reside na multiplicação. Assim, definimos o conjunto dos números complexos como tendo a seguinte operação de multiplicação:

A parte real a1 é multiplicada pela parte real a2 e pela parte imaginária b2, somando-se, então, o produto entre a parte imaginária b1 e a parte real a2, bem como o produto entre b1 e b2.

Na prática, isto resume-se na multiplicação distributiva:

 

Exemplo: z1z2, para z1 = 2 + i e z2 = -1 + 2i:

 

PotenciaçãoEditar

Você deve ter notado a presença de expoente acima da unidade imaginária no exemplo anterior. A potência pode e deve ser resolvida. Facilmente ela pode ser deduzida. Veja:

 
 
 
 

Para expoentes maiores que três (x), a seguinte operação é válida:

 

Em que k é o maior inteiro possível para {y ∈ N| 0 ≤ y ≤ 3}. Por exemplo, i20:

 

DivisãoEditar

A divisão de números complexos pode ser feita pelo método da chave. Entretanto, esta última muitas vezes pode ser demorada até que se obtenha resto igual a zero. Geralmente, o método aplicado consiste na multiplicação do denominador e numerador pelo conjugado do divisor. Exemplo:

 

O conjugado do divisor é igual a -1 - 2i. Portanto:

 

Representação geométricaEditar

É denominado de norma de um complexo z, dado por   , o quadrado da parte real somada ao quadrado da parte imaginária, ou seja,  .
E, denomina-se módulo (ou valor absoluto) de z, ao seguinte real e positivo:
 
Veja o módulo que trata sobre o plano de Argand-Gauss.

Veja tambémEditar

Uma abordagem mais avançada dos números complexos pode ser vista no livro Análise complexa/Introdução.