Matemática elementar/Expressões algébricas

Produtos notáveis são expressões matemáticas padronizadas, em que um produto ou uma potência pode ser expressa através de uma soma de monômios.

A operação inversa se chama fatoração algébrica, que consiste em expressar um polinômio como o produto de polinômios (usualmente binômios) mais simples.

O desenvolvimento dos produtos notáveis é um passo fundamental na simplificação de expressões que envolvem somas ou subtrações, como na resolução de vários tipos de equação.

A fatoração, por outro lado, é fundamental na simplificação de expressões que envolvem a divisão de polinômios, e também é importante na resolução de equações polinomiais.

Produtos notáveisEditar

Quadrado da soma de dois termosEditar

 .

Exemplos:

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Quadrado da diferença de dois termosEditar

  

Exemplos:

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Cubo da soma de dois termosEditar

 

Exemplos:

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Cubo da diferença de dois termosEditar

 

Exemplos:

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ExercíciosEditar

Fatoração algébricaEditar

Fatoração pelo fator comum em evidênciaEditar

Considere o polinômio  , seu fator comum em evidência é  , dividindo cada termo do polinômio pelo fator comum em evidência   e  , a forma fatorada de um polinômio pelo fator comum em evidência é igual ao produto do fator comum em evidência pelo polinômio obtido da divisão de cada termo do polinômio, logo a forma fatorada de  . O fator comum em evidência pode ser aplicado em todos os termos do polinômio.

Outros exemplos:

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Fatoração por agrupamentoEditar

Observe o polinômio  . Este polinômio não possui um fator comum para ser aplicado em todo o mesmo, a solução é fazer pequenos grupos de polinômios a partir do polinômio principal, veja:

 , logo podemos fatorar os pequenos grupos formados do polinômio principal:

 

 , obtemos a fatoração de  , nota-se que os termos entre parênteses são iguais, permitindo uma nova aplicação do fator comum em evidência:  . A forma fatorada de  .

Outro exemplo:

 

Fatoração da diferença de dois quadradosEditar

 

Considere o polinômio  , que é uma diferença de dois quadrados, para fatorar o mesmo devemos obter a raiz quadrada do primeiro termo   menos a raiz quadrada do segundo termo  , logo temos  , devemos, agora, multiplicar o polinômio resultante das raízes dos termos iniciais pelo seu oposto:  , logo a fatoração da diferença de dois quadrados é igual à raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz quadrada do segundo termo vezes o oposto:  , ou simplesmente  .

Outros exemplos:

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Fatoração do trinômio quadrado perfeitoEditar

Considere o polinômio  , que é um trinômio quadrado perfeito, pois representa  , mas como saber se um trinômio é ou não quadrado perfeito?

Ainda considerando o polinômio  , vamos obter a raiz quadrada do primeiro termo   e a raiz quadrada do terceiro termo  , finalmente multiplicamos por dois o produto das raízes para verificar se o resultado é igual ao segundo termo do polinômio ( ):  , o resultado é igual ao segundo termo do polinômio, logo o mesmo é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é  .

Outro exemplo:

  ou  

Fatoração da soma ou da diferença de dois cubosEditar

As expressões usadas são:

 
 

Observe a multiplicação resolvida através da propriedade distributiva:

 , tendo este cálculo como base, podemos dizer que  , logo, a fatoração do polinômio   é igual à raiz cúbica do primeiro termo  , mais a raiz cúbica do segundo termo   vezes o quadrado do primeiro termo  , o produto dos dois termos com o sinal oposto   mais o quadrado do segundo termo  , formando: .

Outros exemplos:

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Fatoração do trinômio do segundo grauEditar

Observe o trinômio  , cuja forma fatorada é  , para realizar sua fatoração devemos obter dois números que somados dêem o coeficiente do segundo termo do polinômio (-2x) e multiplicados dêem o terceiro termo do polinômio (-35), e escrevê-los como produto de dois termos entre parênteses, veja outros exemplos:

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Fatoração completaEditar

A fatoração completa implica a união de todos os métodos de fatoração de polinômios para tornar um polinômio fatorado ao máximo, ou seja, que não pode ser mais fatorado. Considere o polinômio  , que é a diferença de dois quadrados, fatorando-o temos:  , note que o primeiro termo da fatoração [ ] é uma diferença de dois quadrados, devemos fatora-lo:  , assim, temos a fatoração completa do polinômio  .

Outros exemplos:

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Fatoração por artifícioEditar

Em alguns casos, a fatoração só é possível com a utilização de algum artifício. Exemplo;

Fatore a expressão algébrica:  .

 

 

Artifício utilizado: Adicionamos e subtraímos o termo  , não alterando, assim, o valor da expressão e possibilitando a obtenção de trinômio quadrado perfeito para a realização da expressão.

Outro exemplo:

 

Artifício utilizado: soma-se e subtrai-se  , obtendo-se logo em seguida uma soma de cubos:

 

Um passo intermediário que pode ser usado como artifício é a expressao da soma de dois quadrados:

 

Polinômios irredutíveisEditar

Alguns polinômios não podem ser fatorados, estes são chamados de polinômios irredutíveis, mas o estudo destes polinômios deve ficar para um livro mais avançado.

ExercíciosEditar

Problemas resolvidosEditar

Caso 1Editar

Uma indústria produz apenas dois tipos de camisas: o primeiro com preço de R$45,00 a unidade e o segundo com o preço de R$67,00 a unidade. Se chamarmos de x a quantidade vendida do primeiro tipo e de y a quantidade vendida do segundo tipo.

  • Qual a expressão algébrica da venda desses dois artigos?
  • Qual o valor se forem vendidos 200 e 300 unidades respectivamente?

Caso 2Editar

O segundo caso de fatoração é: agrupamento, onde há 4 ou mais termos. Temos como exemplo:

  • ax+ay+bx+by = a(x+y)+b(x+y)= (x+y)(a+b).
  • Colocamos o 'x+y' em evidência e quem os multiplica também.

Caso 3Editar

Diferença entre dois quadrados.

Caso 4Editar

Trinômio quadrado perfeito.

Caso 5Editar

Soma e produto

Caso 6Editar

ExercíciosEditar

Fração algébricaEditar

SimplificaçãoEditar

15x²-15xy²=15x(x-y²)

OperaçõesEditar

AdiçãoEditar

SubtraçãoEditar

MultiplicaçãoEditar

DivisãoEditar

ReferênciasEditar

WikipédiaEditar

A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Fatoração de um polinômio
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Produtos notáveis


 

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