Matemática elementar/Expressões algébricas

Produtos notáveis são expressões matemáticas padronizadas, em que um produto ou uma potência pode ser expressa através de uma soma de monômios.

A operação inversa se chama fatoração algébrica, que consiste em expressar um polinômio como o produto de polinômios (usualmente binômios) mais simples.

O desenvolvimento dos produtos notáveis é um passo fundamental na simplificação de expressões que envolvem somas ou subtrações, como na resolução de vários tipos de equação.

A fatoração, por outro lado, é fundamental na simplificação de expressões que envolvem a divisão de polinômios, e também é importante na resolução de equações polinomiais.

Produtos notáveis

Quadrado da soma de dois termos

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,\!$.

Exemplos:

• $(8x+a)^{2}=64x^{2}+16ax+a^{2}\,\!$
• $\left({\frac {4x}{5y}}-z\right)^{2}={\frac {16x^{2}}{25y^{2}}}-{\frac {8xz}{5y}}+z^{2}$

Quadrado da diferença de dois termos

$(x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}\,\!$ 

Exemplos:

• $(1-2x)^{2}=1-4x+4x^{2}\,\!$
• $\left({\frac {3x}{4y}}-n\right)^{2}={\frac {9x^{2}}{16y^{2}}}-{\frac {6xn}{4y}}+n^{2}$

Cubo da soma de dois termos

$(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,\!$

Exemplos:

• $(m+3n)^{3}=m^{3}+9m^{2}n+27mn^{2}+27n^{3}\,\!$
• $(x+2)^{3}=x^{3}+6x^{2}+12x+8\,\!$

Cubo da diferença de dois termos

$(x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}\,\!$

Exemplos:

• $(b-2c)^{3}=b^{3}-6b^{2}c+12bc^{2}-8c^{3}\,\!$
• $\left({\frac {x}{y}}-{\frac {a}{b}}\right)^{3}={\frac {x^{3}}{y^{3}}}-{\frac {3ax^{2}}{by^{2}}}+{\frac {3a^{2}x}{b^{2}y}}-{\frac {a^{3}}{b^{3}}}$

Exercícios

• Ver Matemática elementar/Expressões algébricas/Produtos notáveis/Exercícios.

Fatoração algébrica

Fatoração pelo fator comum em evidência

Considere o polinômio $14ab+7bc$, seu fator comum em evidência é $7b$, dividindo cada termo do polinômio pelo fator comum em evidência $14ab:7b=2a$ e $7bc:7b=c$, a forma fatorada de um polinômio pelo fator comum em evidência é igual ao produto do fator comum em evidência pelo polinômio obtido da divisão de cada termo do polinômio, logo a forma fatorada de $14ab+7bc=7b.(2a+c)$. O fator comum em evidência pode ser aplicado em todos os termos do polinômio.

Outros exemplos:

• $15x+9y=3.(5x+3y)$
• $50-10y=10.(5-y)$

Fatoração por agrupamento

Observe o polinômio $ab-b^{2}+2a-2b$. Este polinômio não possui um fator comum para ser aplicado em todo o mesmo, a solução é fazer pequenos grupos de polinômios a partir do polinômio principal, veja:

$ab-b^{2}+2a-2b=(ab-b^{2})+(2a-2b)$, logo podemos fatorar os pequenos grupos formados do polinômio principal:

$ab-b^{2}=b(a-b)$

$2a-2b=2(a-b)$, obtemos a fatoração de $ab-b^{2}+2a-2b=b(a-b)+2(a-b)$, nota-se que os termos entre parênteses são iguais, permitindo uma nova aplicação do fator comum em evidência: $(a-b)(b+2)$. A forma fatorada de $ab-b^{2}+2a-2b=b(a-b)+2(a-b)=(a-b)(b+2)$.

Outro exemplo:

$a^{4}-a^{5}+a^{2}b-a^{3}b=a^{2}(a^{2}-a^{3})+b(a^{2}-a^{3})=(a^{2}-a^{3})(a^{2}+b)$

Fatoração da diferença de dois quadrados

$x^{2}-y^{2}=(x+y).(x-y)\,\!$

Considere o polinômio $m^{2}-n^{2}$, que é uma diferença de dois quadrados, para fatorar o mesmo devemos obter a raiz quadrada do primeiro termo ${\sqrt {m^{2}}}=m$ menos a raiz quadrada do segundo termo $-{\sqrt {n^{2}}}=-n$, logo temos ${\sqrt {m^{2}}}-{\sqrt {n^{2}}}=m-n$, devemos, agora, multiplicar o polinômio resultante das raízes dos termos iniciais pelo seu oposto: $(m-n).(m+n)$, logo a fatoração da diferença de dois quadrados é igual à raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz quadrada do segundo termo vezes o oposto: $m^{2}-n^{2}=({\sqrt {m^{2}}}-{\sqrt {n^{2}}}).({\sqrt {m^{2}}}+{\sqrt {n^{2}}})=(m-n).(m+n)$, ou simplesmente $m^{2}-n^{2}=(m-n).(m+n)$.

Outros exemplos:

• $(n+8)^{2}-1=[(n+8)+1].[(n+8)-1]=[n+8+1].[n+8-1]=[n+9].[n+7]$
• $a^{4}-b^{4}=(a^{2}+b^{2}).(a^{2}-b^{2})=(a-b).(a+b).(a^{2}+b^{2})$

Fatoração do trinômio quadrado perfeito

Considere o polinômio $4x^{2}+4xy+y^{2}$, que é um trinômio quadrado perfeito, pois representa $(2x+y)^{2}$, mas como saber se um trinômio é ou não quadrado perfeito?

Ainda considerando o polinômio $4x^{2}+4xy+y^{2}$, vamos obter a raiz quadrada do primeiro termo ${\sqrt {4x^{2}}}=2x$ e a raiz quadrada do terceiro termo ${\sqrt {y^{2}}}=y$, finalmente multiplicamos por dois o produto das raízes para verificar se o resultado é igual ao segundo termo do polinômio ($4xy$): $2.2x.y=4xy$, o resultado é igual ao segundo termo do polinômio, logo o mesmo é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é $4x^{2}+4xy+y^{2}=(2x+y)^{2}$.

Outro exemplo:

$x^{2}-8xy+16y^{2}={\sqrt {x^{2}}}-{\sqrt {16y^{2}}}=x-4y(2.x.(-4y)=(-8xy)=(x-4y)^{2}$ ou $x^{2}-8xy+16y^{2}=(x-4y)^{2}$

Fatoração da soma ou da diferença de dois cubos

As expressões usadas são:

$x^{3}+y^{3}=(x+y).(x^{2}-xy+y^{2})\,\!$

$x^{3}-y^{3}=(x-y).(x^{2}+xy+y^{2})\,\!$

Observe a multiplicação resolvida através da propriedade distributiva:

$(a+b).(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=a^{3}+b^{3}$, tendo este cálculo como base, podemos dizer que $a^{3}+b^{3}=(a+b).(a^{2}-ab+b^{2})$, logo, a fatoração do polinômio $a^{3}+b^{3}$ é igual à raiz cúbica do primeiro termo ${\sqrt[{3}]{a^{3}}}=a$, mais a raiz cúbica do segundo termo ${\sqrt[{3}]{b^{3}}}=b$ vezes o quadrado do primeiro termo $a^{2}$, o produto dos dois termos com o sinal oposto $-ab$ mais o quadrado do segundo termo $b^{2}$, formando:$a^{3}+b^{3}=(a+b).(a^{2}-ab+b^{2})$.

Outros exemplos:

• $x^{3}-y^{3}=(x-y).(x^{2}+xy+y^{2})$
• ${\frac {x^{3}}{8}}+{\frac {y^{3}}{27}}=\left({\frac {x}{2}}+{\frac {y}{3}}\right).\left({\frac {x^{2}}{4}}-{\frac {xy}{6}}+{\frac {y^{2}}{9}}\right)$

Fatoração do trinômio do segundo grau

Observe o trinômio $x^{2}-2x-35$, cuja forma fatorada é $(x-7).(x+5)$, para realizar sua fatoração devemos obter dois números que somados dêem o coeficiente do segundo termo do polinômio (-2x) e multiplicados dêem o terceiro termo do polinômio (-35), e escrevê-los como produto de dois termos entre parênteses, veja outros exemplos:

• $a^{2}+8a+12=(a+2).(a+6)$
• $x^{2}-15x-100=(x-20).(x+5)$
• $y^{2}+y-72=(y+9)(y-8)$

Fatoração completa

A fatoração completa implica a união de todos os métodos de fatoração de polinômios para tornar um polinômio fatorado ao máximo, ou seja, que não pode ser mais fatorado. Considere o polinômio $x^{4}-y^{4}$, que é a diferença de dois quadrados, fatorando-o temos: $x^{4}-y^{4}=(x^{2}-y^{2}).(x^{2}+y^{2})$, note que o primeiro termo da fatoração [$(x^{2}-y^{2})$] é uma diferença de dois quadrados, devemos fatora-lo: $x^{4}-y^{4}=(x^{2}-y^{2}).(x^{2}+y^{2})=(x-y).(x+y).(x^{2}+y^{2})$, assim, temos a fatoração completa do polinômio $x^{4}-y^{4}$.

Outros exemplos:

• ${\frac {x^{6}}{64}}-{\frac {y^{6}}{729}}=\left({\frac {x^{3}}{8}}-{\frac {y^{3}}{27}}\right).\left({\frac {x^{3}}{8}}+{\frac {y^{3}}{27}}\right)=\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {y}{3}}\right).\left({\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {xy}{6}}+{\frac {y^{2}}{9}}\right)\right].\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {y}{3}}\right).\left({\frac {x^{2}}{4}}-{\frac {xy}{6}}+{\frac {y^{2}}{9}}\right)\right]$
• $3x^{2}-6x+3=3.(x^{2}-2x+1)=3.(x-1)^{2}$
• $a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}=(a+b)^{2}-c^{2}=(a+b-c)(a+b+c)$

Fatoração por artifício

Em alguns casos, a fatoração só é possível com a utilização de algum artifício. Exemplo;

Fatore a expressão algébrica: $x^{4}+4x^{2}y^{2}+16y^{4}$.

$(x^{4}+4x^{2}y^{2}+16y^{4}+4x^{2}y^{2})-4x^{2}y^{2}=$

$x^{4}+8x^{2}y^{2}+16y^{4}-4x^{2}y^{2}=(x^{2}+4y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}=(x^{2}+4y^{2}+2xy)(x^{2}+4y^{2}-2xy)$

Artifício utilizado: Adicionamos e subtraímos o termo $4x^{2}y^{2}$, não alterando, assim, o valor da expressão e possibilitando a obtenção de trinômio quadrado perfeito para a realização da expressão.

Outro exemplo:

$x^{5}+x+1\,$

Artifício utilizado: soma-se e subtrai-se $x^{2}\,$, obtendo-se logo em seguida uma soma de cubos:

$x^{5}+x+1=x^{5}-x^{2}+x^{2}+x+1=x^{2}(x^{3}-1)+x^{2}+x+1=x^{2}(x-1)(x^{2}+x+1)+1(x^{2}+x+1)=(x^{2}(x-1)+1)(x^{2}+x+1)=(x^{3}-x^{2}+1)(x^{2}+x+1)\,$

Um passo intermediário que pode ser usado como artifício é a expressao da soma de dois quadrados:

$x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy\,\!$

Polinômios irredutíveis

Alguns polinômios não podem ser fatorados, estes são chamados de polinômios irredutíveis, mas o estudo destes polinômios deve ficar para um livro mais avançado.

Exercícios

• Ver Matemática elementar/Polinômios/Exercícios.

Problemas resolvidos

Caso 1

Uma indústria produz apenas dois tipos de camisas: o primeiro com preço de R$45,00 a unidade e o segundo com o preço de R$67,00 a unidade. Se chamarmos de x a quantidade vendida do primeiro tipo e de y a quantidade vendida do segundo tipo.

• Qual a expressão algébrica da venda desses dois artigos?
• Qual o valor se forem vendidos 200 e 300 unidades respectivamente?

Caso 2

O segundo caso de fatoração é: agrupamento, onde há 4 ou mais termos. Temos como exemplo:

• ax+ay+bx+by = a(x+y)+b(x+y)= (x+y)(a+b).
• Colocamos o 'x+y' em evidência e quem os multiplica também.

Caso 3

Diferença entre dois quadrados.

Caso 4

Trinômio quadrado perfeito.

Caso 5

Soma e produto

Exercícios

• Ver Matemática elementar/Polinômios/Exercícios

Fração algébrica

Simplificação

15x²-15xy²=15x(x-y²)

Referências

Wikipédia

Esta página é um esboço de matemática. Ampliando-a você ajudará a melhorar o Wikilivros.