Matemática elementar/Progressões/Progressão geométrica

Progressões geométricas são sequências numéricas em que os elementos crescem por multiplicações, a uma razão fixa.

Progressão geométrica (1,2,4,8).

Exemplo:

$P=(1,3,9,27,81)$ (razão de progressão q = 3)

Soma dos termos

Em uma PG, a soma dos termos é dada por:

$\sum _{i=0}^{n}(a_{1}\times r^{i})$

De maneira idêntica aos somatórios de uma PA, temos:

$\sum _{i=0}^{n}(a_{1}+r^{i})=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}$

Portanto, a soma dos termos de uma PG de 5 termos, na qual o primeiro termo é igual a 3 e a razão igual a 2, é:

$\sum _{\color {Red}i=0}^{5}(3\times 2^{\color {Red}i})=(3\times 2^{\color {Red}0})+(3\times 2^{\color {Red}1})+(3\times 2^{\color {Red}2})+(3\times 2^{\color {Red}3})+(3\times 2^{\color {Red}4})=3+6+12+24+48=93$

Soma de infinitos termos

A soma dos termos de uma P.G. infinita se dá pela seguinte equação:

$Sn={\frac {a_{1}}{1-q}}$

Produtórios

Similar aos somatórios, os produtórios (representados pela letra pi maiúscula) representam multiplicação dos termos de uma progressão. Esquematizando o produtório para uma PA, teremos:

$\prod _{i=0}^{n}(a_{1}+ir)=a_{1}\times a_{2}\times a_{3}\times ...\times a_{n}$

Nestes casos, você pode verificar que para r = 1,

$\prod _{i=0}^{n}(a_{1}+i)={\frac {a_{n}!}{(a_{1}-1)!}}$

E para uma PG:

$\prod _{i=0}^{n}(a_{1}\times r^{i})=a_{1}\times a_{2}\times a_{3}\times ...\times a_{n}$

Produto

o produto de uma progressão geométrica será:

P = (a1.an)^1/2