Progressões geométricas são sequências numéricas em que os elementos crescem por multiplicações, a uma razão fixa.
Progressão geométrica (1,2,4,8). Exemplo:
P
=
(
1
,
3
,
9
,
27
,
81
)
{\displaystyle P=(1,3,9,27,81)}
q = 3)
Em uma PG, a soma dos termos é dada por:
∑
i
=
0
n
(
a
1
×
r
i
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(a_{1}\times r^{i})}
De maneira idêntica aos somatórios de uma PA, temos:
∑
i
=
0
n
(
a
1
+
r
i
)
=
a
1
+
a
2
+
a
3
+
.
.
.
+
a
n
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(a_{1}+r^{i})=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}}
Portanto, a soma dos termos de uma PG de 5 termos, na qual o primeiro termo é igual a 3 e a razão igual a 2, é:
∑
i
=
0
5
(
3
×
2
i
)
=
(
3
×
2
0
)
+
(
3
×
2
1
)
+
(
3
×
2
2
)
+
(
3
×
2
3
)
+
(
3
×
2
4
)
=
3
+
6
+
12
+
24
+
48
=
93
{\displaystyle \sum _{\color {Red}i=0}^{5}(3\times 2^{\color {Red}i})=(3\times 2^{\color {Red}0})+(3\times 2^{\color {Red}1})+(3\times 2^{\color {Red}2})+(3\times 2^{\color {Red}3})+(3\times 2^{\color {Red}4})=3+6+12+24+48=93}
Soma de infinitos termos
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A soma dos termos de uma P.G. infinita se dá pela seguinte equação:
S
n
=
a
1
1
−
q
{\displaystyle Sn={\frac {a_{1}}{1-q}}}
Similar aos somatórios, os produtórios (representados pela letra pi maiúscula) representam multiplicação dos termos de uma progressão. Esquematizando o produtório para uma PA, teremos:
∏
i
=
0
n
(
a
1
+
i
r
)
=
a
1
×
a
2
×
a
3
×
.
.
.
×
a
n
{\displaystyle \prod _{i=0}^{n}(a_{1}+ir)=a_{1}\times a_{2}\times a_{3}\times ...\times a_{n}}
Nestes casos, você pode verificar que para r = 1,
∏
i
=
0
n
(
a
1
+
i
)
=
a
n
!
(
a
1
−
1
)
!
{\displaystyle \prod _{i=0}^{n}(a_{1}+i)={\frac {a_{n}!}{(a_{1}-1)!}}}
E para uma PG:
∏
i
=
0
n
(
a
1
×
r
i
)
=
a
1
×
a
2
×
a
3
×
.
.
.
×
a
n
{\displaystyle \prod _{i=0}^{n}(a_{1}\times r^{i})=a_{1}\times a_{2}\times a_{3}\times ...\times a_{n}}
o produto de uma progressão geométrica será:
P = (a1.an)^1/2 
