Matemática elementar/Função inversa

Dada uma função $f:U\to V\,$, uma pergunta natural é, dado um valor v do contradomínio, em que condições a equação f(x) = v tem uma solução única x = u  ?

Por exemplo, para funções do primeiro grau, de domínio e contra-domínios reais, f(x) = a x + b (em que a ≠ 0), a equação f(x) = v admite a única solução $x={\frac {v-b}{a}}\,$.

Por outro lado, para funções reais do segundo grau f(x) = a x^{2 + b x + c} (novamente, a ≠ 0), a equação f(x) = v pode possuir duas, uma ou nenhuma raiz (dependendo do valor de $\Delta =b^{2}\ -\ 4\ a\ (c-v)\,$ ser, respectivamente, positivo, zero ou negativo).

Como outro exemplo, a função f(x) = x² + 1, quando o domínio é o conjunto dos números reais positivos e o contra-domínio é o conjunto dos números reais maiores que um é tal que f(x) = v sempre admite uma única solução. Isto porque, sendo v > 1, temos que x² + 1 = v é equivalente a x² = v - 1, ou seja, a solução é a (única) raiz quadrada positiva do número positivo v - 1 dada por $x={\sqrt {v-1}}\,$.

Conceito

Dada uma função $f:U\to V\,$, dizemos que $g:V\to U\,$ é a função inversa de f quando:

• Para todo valor $y\in V\,$, a equação f(x) = y tem uma solução
• Esta solução é única, e dada por x = g(y).

Teoremas

• Se a função f tem uma inversa, então f é uma função bijetora.
• Se f é uma função bijetora, então f tem uma inversa, e a função inversa é bijetora
• A função inversa de uma função é única
• Se g é a função inversa de f, então f é a função inversa de g

Definições relacionadas

A função inversa $g$ de uma função real de variável real $f$ obtém-se de $f$ por uma simetria em relação à recta $y=x$.

Uma função que tenha inversa diz-se invertível.

A função inversa de uma função f é representada por f^-1 - note-se que esta notação deve ser usada com cuidado, pois, em alguns contextos, $f^{-1}={\frac {1}{f}}\,$.

Ver também

Artigo na wikipedia:

• Função inversa