Matemática elementar/Função composta

A avaliação de expressões matemáticas do tipo $(\cos x)^{2}\,$, ${\sqrt {\frac {x-1}{x+2}}}\,$ e $\cos({\sqrt {x}})\,$ envolvem a aplicação sucessiva de várias funções. Por exemplo, para calcular $(\cos x)^{2}\,$, quando $x=\pi /4\,$ (x é o ângulo de 45 graus) devemos primeiro calcular $\cos x$ e, depois, elevar o resultado ao quadrado.

O nome deste tipo de cálculo de funções em sequência é a composição de funções.

Ou seja, quando se calcula uma expressão da forma g(f(x)), em que f e g são funções, estamos calculando h(x), em que h é a função composta de g e f.

Uma função f(x) deve ser pensada como uma operação que começa no x, depois passa pela função f, gerando o resultado f(x). Uma notação mais adequada para esta imagem visual seria escrever (x)f, mas, infelizmente, a notação historicamente consagrada é f(x).

Assim, a função composta g o f deve ser entendida como uma função h em que, primeiro, a função f é executada, e, em seguida, a função g é executada.

Ou seja, se h = g o f, então temos:

• h(x) = (g o f)(x) = g(f(x))

Conceito

No sentido mais rigoroso, a função composta de duas funções está definida apenas na seguinte situação:

Sejam f e g as duas funções de domínio e contra-domínio:

$f:X\rightarrow Y$

$g:Y\rightarrow Z$

Então a função composta g o f é a função:

$g\circ f:X\rightarrow Z$

definida por:

$g\circ f(x)=g(f(x))\quad \forall \ x\in X$

Isto é ilustrado na figura abaixo:

Exemplo

• Para se calcular g o f, devemos pegar a expressão de g(x) e trocar x por f(x). Assim, sendo as funções reais:

$f(x)={\color {Red}x^{2}-3}\,$

$g(x)={\sqrt {2x+1}}\,$

temos que:

$g\circ f(x)={\sqrt {2({\color {Red}x^{2}-3})+1}}\,$

ou seja:

$g\circ f(x)={\sqrt {2x^{2}-5}}\,$

Problemas de composição de função

Por um abuso de linguagem, usa-se o termo função composta para a situação em que:

$f:X\rightarrow Y$

$g:U\rightarrow V$

Neste caso, g o f é definida apenas para os pontos do domínio de f cuja imagem f(x) pertença também ao domínio de g.

Exemplo

Seja:

$f(x)={\sqrt {x}}\,$

$g(x)={\sqrt {1-x}}\,$

Neste caso, como não são dados nem o domínio nem o contra-domínio das funções, supõe-se que o contra-domínio é o conjunto dos números reais, e o domínio é o maior possível.

Ou seja:

$f:[0,+\infty [\rightarrow \mathbb {R} \,$

$g:\ ]-\infty ,1]\rightarrow \mathbb {R} \,$

Note-se que a função g o f não pode ser avaliada no ponto x = 4 do domínio de f (porque f(4) = 2, e g(2) não está definido nos reais). Assim, para se calcular o domínio de g o f, é necessário forçar que f(x) pertença ao domínio de g, ou seja:

$f(x)\leq 1\,$

Resolvendo, temos as duas condições:

$x\geq 0\,$ - condição para $x\in Dom(f)\,$

${\sqrt {x}}\leq 1\,$ - condição para $f(x)\in Dom(g)\,$

Ou seja:

$x\geq 0\,$

$x\leq 1\,$

Finalmente:

$0\leq x\leq 1\,$

Ou seja, o domínio de g o f é o intervalo fechado [0, 1].

Associatividade

Pode-se estender a definição para a composição de três ou mais funções, de maneira análoga. Sejam

$f:A\rightarrow B\,$

$g:B\rightarrow C\,$

$h:C\rightarrow D\,$

Como o contra-domínio de f é o domínio de g, a função composta g o f está definida:

$g\circ f:A\rightarrow C\,$

Analogamente, a função composta h o g também está definida:

$h\circ g:B\rightarrow D\,$

De novo, como o contra-domínio de g o f é o domínio de h, podemos construir a função composta h o (g o f):

$h\circ (g\circ f):A\rightarrow D\,$

Finalmente, como o contra-domínio de f é o domínio de h o g, podemos construir a função composta (h o g) o f:

$(h\circ g)\circ f:A\rightarrow D\,$

Teorema Nas condições acima, $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)\,$ (associatividade)

Prova A prova usa, recursivamente, relações do tipo (g o f)(x) = g(f(x)) - a definição da fórmula da função composta. Esta relação vale para todo x no domínio de f (que é o domínio tanto de (h o g) o f quanto h o (g o f)).

Seja $x\in A\,$.

Então:

$(g\circ f)(x)=g(f(x))\,$ - pela definição de g o f

$((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))\,$ - pela definição de (h o g) o f

$(h\circ (g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))\,$ - pela definição de h o (g o f)

Seja y = f(x). Então $y=f(x)\in B\,$, então vale também a relação:

$(h\circ g)(y)=h(g(y))\,$ - pela definição de h o g.

Portanto:

$((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=(h\circ g)(y)=h(g(y))=h(g(f(x)))=h((g\circ f)(x))=(h\circ (g\circ f))(x)\,$

Como a relação acima vale para todo x, temos que:

$(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)\,$.

Notação A função composta de três funções pode ser escrita sem os parêntesis:

$h\circ g\circ f=h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f\,$

Explicitamente:

$(h\circ g\circ f)(x)=h(g(f(x)))\,$

Propriedades

• Se g é a função inversa de f, então a função composta g o f é a identidade no domínio de f, ou seja, g o f(x) = x para todo x no domínio de f
• Se g é a função inversa de f, então a função composta f o g é a identidade no contra-domínio de f, ou seja, f o g(y) = y para todo y no contra-domínio de g

Ver também

Artigo na wikipedia:

• Função composta