Matemática elementar/Função composta


A avaliação de expressões matemáticas do tipo , e envolvem a aplicação sucessiva de várias funções. Por exemplo, para calcular , quando (x é o ângulo de 45 graus) devemos primeiro calcular e, depois, elevar o resultado ao quadrado.

O nome deste tipo de cálculo de funções em sequência é a composição de funções.

Ou seja, quando se calcula uma expressão da forma g(f(x)), em que f e g são funções, estamos calculando h(x), em que h é a função composta de g e f.

Uma função f(x) deve ser pensada como uma operação que começa no x, depois passa pela função f, gerando o resultado f(x). Uma notação mais adequada para esta imagem visual seria escrever (x)f, mas, infelizmente, a notação historicamente consagrada é f(x).

Assim, a função composta g o f deve ser entendida como uma função h em que, primeiro, a função f é executada, e, em seguida, a função g é executada.

Ou seja, se h = g o f, então temos:

  • h(x) = (g o f)(x) = g(f(x))

ConceitoEditar

No sentido mais rigoroso, a função composta de duas funções está definida apenas na seguinte situação:

Sejam f e g as duas funções de domínio e contra-domínio:

 
 

Então a função composta g o f é a função:

 

definida por:

 

Isto é ilustrado na figura abaixo:

 

ExemploEditar

  • Para se calcular g o f, devemos pegar a expressão de g(x) e trocar x por f(x). Assim, sendo as funções reais:
 
 

temos que:

 

ou seja:

 

Problemas de composição de funçãoEditar

Por um abuso de linguagem, usa-se o termo função composta para a situação em que:

 
 

Neste caso, g o f é definida apenas para os pontos do domínio de f cuja imagem f(x) pertença também ao domínio de g.

ExemploEditar

Seja:

 
 

Neste caso, como não são dados nem o domínio nem o contra-domínio das funções, supõe-se que o contra-domínio é o conjunto dos números reais, e o domínio é o maior possível.

Ou seja:

 
 

Note-se que a função g o f não pode ser avaliada no ponto x = 4 do domínio de f (porque f(4) = 2, e g(2) não está definido nos reais). Assim, para se calcular o domínio de g o f, é necessário forçar que f(x) pertença ao domínio de g, ou seja:

 

Resolvendo, temos as duas condições:

  - condição para  
  - condição para  

Ou seja:

 
 

Finalmente:

 

Ou seja, o domínio de g o f é o intervalo fechado [0, 1].

AssociatividadeEditar

Pode-se estender a definição para a composição de três ou mais funções, de maneira análoga. Sejam

 
 
 

Como o contra-domínio de f é o domínio de g, a função composta g o f está definida:

 

Analogamente, a função composta h o g também está definida:

 

De novo, como o contra-domínio de g o f é o domínio de h, podemos construir a função composta h o (g o f):

 

Finalmente, como o contra-domínio de f é o domínio de h o g, podemos construir a função composta (h o g) o f:

 

Teorema Nas condições acima,   (associatividade)

Prova A prova usa, recursivamente, relações do tipo (g o f)(x) = g(f(x)) - a definição da fórmula da função composta. Esta relação vale para todo x no domínio de f (que é o domínio tanto de (h o g) o f quanto h o (g o f)).

Seja  .

Então:

  - pela definição de g o f
  - pela definição de (h o g) o f
  - pela definição de h o (g o f)

Seja y = f(x). Então  , então vale também a relação:

  - pela definição de h o g.

Portanto:

 

Como a relação acima vale para todo x, temos que:

 .

Notação A função composta de três funções pode ser escrita sem os parêntesis:

 

Explicitamente:

 

PropriedadesEditar

  • Se g é a função inversa de f, então a função composta g o f é a identidade no domínio de f, ou seja, g o f(x) = x para todo x no domínio de f
  • Se g é a função inversa de f, então a função composta f o g é a identidade no contra-domínio de f, ou seja, f o g(y) = y para todo y no contra-domínio de g


Ver tambémEditar

Artigo na wikipedia: