Matemática elementar/Função afim

Funções afim são as funções com domínio real e contradomínio real do tipo , sendo que a e b são constantes. É uma função de primeiro grau, pois sobre a variável há o expoente 1 (implícito). Observe o exemplo abaixo:

Em uma fábrica, a cada hora trabalhada produz-se quatro pares de sapato. Surgiu uma encomenda de quatorze pares. Quantas horas serão necessárias para produzir a quantidade encomendada?

Este exemplo pode ser resolvido por uma regra de três simples:

E facilmente descobre-se que o tempo necessário é igual a 3 horas e 30 minutos. Neste exemplo, observa-se que a produção está em função das horas, sendo que o tempo é proporcional à produção de sapatos. Assim, observa-se uma progressão aritmética de razão 4:

A mesma pode ser representada em um gráfico no primeiro quadrante:

Quando estes pontos são ligados, eles originam uma reta. A função da reta é bijetora e consequentemente é ímpar. Isto significa que para cada valor x haverá um valor y.

ClassificaçãoEditar

A equação pode estar em duas formas:

  • Reduzida - Apresenta-se na forma ax + b = y (o coeficiente de y é 1);
  • Desenvolvida - Apresenta-se na forma ax + by + c = 0.

Deve-se observar que é possível toda equação desenvolvida tornar-se uma equação reduzida.

Exemplo - Qual a equação reduzida de 2x + 2y - 4 = 0?
 

Que simplificada:

 

A reta é classificada em:

  • Crescente - os valores de y são proporcionais aos valores de x. Neste caso, a reta direciona-se do terceiro ao primeiro quadrante, e o coeficiente de x na equação reduzida é positivo;
  • Decrescente - os valores de y são inversamente proporcionais aos valores de x. Desta forma, a reta direciona-se do quarto ao segundo quadrante, e o coeficiente de x na equação reduzida é negativo;
  • Constante - o valor de y independe do valor de x. Assim, a reta direciona-se do quarto ao primeiro quadrante, ou do terceiro ao segundo quadrante. A reta pode, também, pertencer ao eixo das abcissas. Com a função constante, o coeficiente de x na equação reduzida é zero.
 
Exemplo de reta crescente.
 
Exemplo de reta decrescente.
 
Exemplo de reta constante.

CaracterísticasEditar

CoeficientesEditar

Sendo a expressão geral f(x) = ax + b, dizemos que a é o coeficiente angular, e b o coeficiente linear.

O coeficiente angular, como se descreve, determina o ângulo entre a reta e o eixo das abcissas (α):

 

Já o coeficiente linear é o ponto em y em que a reta intercepta o eixo das ordenadas.

Exemplo - Na função f(x) = x + 2 o ângulo entre a reta e o eixo das abcissas é 45° e esta intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0;2).

Reta dados dois pontosEditar

Dados dois pontos quaisquer, há apenas uma função afim que passa por estes. Sendo (x1; y1) e (x2; y2) estes pontos, esta função pode ser determinada por um sistema de equações ou pelo determinante de uma matriz:

 

 

Exemplo - Qual a função da reta que passa pelos pontos (-1;0) e (2;3)?

 

 

Independentemente da forma em que for calculado, o resultado é a função x + 1 = y.

RaizEditar

Toda função afim tem uma raiz (zero) real. A raiz é obtida quando f(x) = 0. Para uma função afim qualquer, sua raiz x é o ponto (x, 0) do plano cartesiano, ou seja, o ponto x em que a reta cruza o eixo das abcissas. Exemplo:

Qual a raiz de f(x) = 2x + 4?
  • Iguala-se f(x) a zero:
 
  • Então:
 

Assim, a raiz de f(x) = 2x + 4 é -2.