Matemática elementar/Sistemas lineares

Definição

Sistemas lineares são conjuntos de equações lineares. Uma equação linear, por sua vez, é toda equação que pode tomar a forma:

$a_{n}x_{n}+a_{n-1}x_{n-1}+...+a_{3}x_{3}+a_{2}x_{2}+a_{1}x_{1}=b$.

Por exemplo, 5x + 2y + z = 12 ou 0,2x - 15y = 0. Na equação linear sempre aparecem coeficientes e variáveis. No primeiro exemplo, os coeficientes são 5, 2 e 1 (implícito), e as variáveis são x, y e z.

As equações lineares podem ter um grupo de valores que, substituindo as variáveis, as tornam verdadeiras. Por exemplo:

$5x+2y+z=12\!\,$

O conjunto de valores (2,1,0) torna essa equação verdadeira:

$5(2)+2(1)+0=12\Rightarrow 10+2+0=12\Rightarrow 12=12\!\,$

Os valores que tornam a equação linear verdadeira são chamados soluções da mesma.

O sistema linear é composto por duas ou mais equações, geralmente apresentadas no seguinte formato:

$\left\{{\begin{matrix}a_{n}x_{n}+a_{n-1}x_{n-1}+...+a_{2}x_{2}+a_{1}x_{1}=b\\c_{n}x_{n}+c_{n-1}x_{n-1}+...+c_{2}x_{2}+c_{1}x_{1}=d\\\vdots \end{matrix}}\right.$

Para estas equações pode haver um conjunto de valores que só serão a solução do sistema se forem solução de cada equação. Assim, no sistema:

$\left\{{\begin{matrix}6x+3y=24\\4x-y=4\end{matrix}}\right.$

Percebe-se que a solução única capaz de satisfazer a ambas as equações é o par (2,4). O sistema acima é chamado de sistema linear a 2 incógnitas, e portanto admite soluções que são pares ou duplas. De modo genérico, um sistema será linear a n incógnitas (ou variáveis) e terá por solução uma n-upla (lê-se "enupla") do tipo (α₁, α₂, α₃, ... α_n). Conforme veremos mais adiante, um sistema apresenta melhores condições de ser resolvido (ou seja, de ter sua solução encontrada) caso tenha um número de equações igual ao número de incógnitas.

Classificação

Os sistemas lineares podem ser classificados quanto a possibilidade de obtenção de soluções, dentro do conjunto numérico ao qual os sistemas devem ser resolvidos. Inicialmente, encontramos dois tipos de sistemas:

• impossíveis (ou inconsistentes) são os sistemas que não têm solução, geralmente por conterem equações lineares que se contradizem. Por exemplo:

  $\left\{{\begin{matrix}x+y=10\\x+y=12\end{matrix}}\right.$

  Observar que as equações apresentam o inconveniente de apresentar a mesma soma, mas com resultados diferentes, o que leva à impossibilidade de resolver o sistema. O sistema impossível (SI) sempre resulta numa contradição. Vale ressaltar que o conjunto numérico ao qual a solução pertence é fundamental na determinação da possibilidade do sistema; por exemplo:

  $\left\{{\begin{matrix}x+2y=10\\x-y=16\end{matrix}}\right.$

  É considerado impossível dentro do conjunto dos números naturais, pois não há nenhum número natural que somado em dobro 2y a outro número natural x resulte em um valor menor do que ele próprio y somado ao mesmo número x. A solução real, (14,-2), é descartada se restringirmos a solução ao conjunto de números naturais (-2 não é natural).

• possíveis (ou consistentes) são todos os sistemas que não levam a uma contradição, e portanto admitem soluções dentro do conjunto numérico ao qual estão designados. Os sistemas possíveis, por sua vez, se subdividem em dois tipos:
  • possíveis determinados (SPD) são os sistemas que possuem apenas uma solução; é possível identificar uma n-upla capaz de resolver todas as equações, única. Como exemplo, além daquele citado na seção anterior, o sistema:

  $\left\{{\begin{matrix}3x+2y=-2\\x+2y=10\end{matrix}}\right.$

  Permite como solução real a dupla (-6, 8).

  • possíveis indeterminados (SPI) são os sistemas que permitem infinitas soluções, porque apresentam os chamados graus de liberdade, ou seja, permitem soluções arbitrárias. Por exemplo, o sistema:

  $\left\{{\begin{matrix}x-y=8\\2x-2y=16\end{matrix}}\right.$

  Permite uma infinidade de soluções como (10,2), (12,4), (19,11), etc. Em todas elas, basta que a relação entre o primeiro elemento e o segundo seja (α,α - 8). Também é indeterminado o sistema:

  $\left\{{\begin{matrix}x+y+z=10\\x+y-2z=4\end{matrix}}\right.$

  Pois apresenta mais incógnitas do que equações, sendo por isso impossível "trabalhar" as incógnitas de modo a obter valor preciso para cada uma. A solução é qualquer tripla do tipo (α, 8 - α, -2). Observar que o terceiro elemento pode ser definido, mas não os dois outros, de modo que essa é a mesma situação do sistema indeterminado do exemplo anterior.

Sistemas equivalentes

Diz-se que dois sistemas lineares são equivalentes se, e somente se, apresentam a(s) mesma(s) n-upla(s) como solução(ões). Assim, os sistemas:

$\left\{{\begin{matrix}6x+2y=-2\\8x+y=-6\end{matrix}}\right.$

E

$\left\{{\begin{matrix}2x-y=-4\\4x+3y=2\end{matrix}}\right.$

Ambos apresentam como solução (-1, 2). Ambos são sistemas equivalentes, portanto.

Um sistema equivalente constitui, de certo modo, apenas um desenvolvimento de outro sistema, das equações desse outro sistema devidamente transformadas. A relação de equivalência está presente desde situações mais óbvias (quando dois sistemas são em tudo iguais, exceto pela ordem das equações lineares, por exemplo) até situações mais complexas, nas quais é preciso multiplicar e somar as equações para obter as mesmas equações de outro sistema. No exemplo dado, o segundo sistema foi formado a partir de duas equações:

• $2x-y=-4$ é a subtração de $8x+y=-6$ por $6x+2y=-2$
• $4x+3y=2$ é a subtração de $2(6x+2y=-2)$ por $8x+y=-6$

A equivalência de sistemas é fundamental para transformação dos mesmos, e eventual resolução por método de escalonamento, que será discutido mais adiante.

Resolução de sistemas

Os sistemas lineares podem ser resolvidos (ou seja, ter a solução encontrada) através de diferentes métodos. Aqui examinar-se-á o método de escalonamento, e no próximo capítulo, o método ou regra de Cramer, que utiliza-se de matrizes.

O método do escalonamento permite resolver sistemas lineares de n equações a n incógnitas. Caso existam mais incógnitas do que equações, o método não funcionará, ou seja, ele não permite resolver sistemas com grau de liberdade maior ou igual a 1. Já os sistemas com mais equações do que incógnitas podem ser resolvidos, desde que não hajam contradições que o tornem SI.

Escalonamento

Classificado o sistema como SPD ou SPI, pode ser feito o escalonamento, que consiste basicamente em deixar as equações do sistema na forma:

$\left\{{\begin{matrix}a_{n}x_{n}+a_{n-1}x_{n-1}+\cdots +a_{1}x_{1}=b\\c_{n-1}x_{n-1}+\cdots +c_{1}x_{1}=d\\\vdots \\e_{1}x_{1}=f\end{matrix}}\right.$

Ou seja, o sistema deve ter diversas equações, cada uma com um número crescente ou decrescente de incógnitas, de modo que a última se reduza a apenas uma incógnita. Isso é feito com as transformações adequadas – sempre é possível "zerar" uma das incógnitas na equação pela soma/subtração da equação anterior que contenha essa incógnita. Exemplificando:

$\left\{{\begin{matrix}8x+4y+5z=-23\\4x+8y+1z=-7\\-2x-10y+2z=0\end{matrix}}\right.$

Inicialmente, vamos eliminar o termo composto pela variável x nas duas últimas equações, a partir da primeira. Para tanto, inicialmente multiplicamos a segunda equação por -2 e a terceira por 4. Depois, somamos as equações a primeira e obtemos:

$\left\{{\begin{matrix}8x+4y+5z=-23\\-8x-16y-2z=14\\-8x-40y+8z=0\end{matrix}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}8x+4y+5z=-23\\0x-12y+3z=-9\\0x-36y+13z=-23\end{matrix}}\right.$

A continuar o processo, pode-se trabalhar a segunda e a terceira equação linear para obter na terceira uma equação a uma variável, que arbitrariamente escolhemos ser z. Para tanto, vamos multiplicar a segunda equação por -3, e então somá-la à terceira equação:

$\left\{{\begin{matrix}8x+4y+5z=-23\\36y-9z=27\\-36y+13z=-23\end{matrix}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}8x+4y+5z=-23\\36y-9z=27\\0y+4z=4\end{matrix}}\right.$

A partir desta última equação, e em geral em qualquer sistema resolvido por escalonamento, é possível encontrar o valor de uma primeira variável, no caso específico:

$4z=4\Rightarrow z=1\!\,$

Substituindo o valor encontrado para z na equação da segunda linha, temos:

$36y-9z=27\Rightarrow 36y-9(1)=27\Rightarrow y=1$

Por fim, é possível substituir esses dois valores na primeira equação:

$8x+5y+4z=-23\Rightarrow 8x+5(1)+4(1)=-23\Rightarrow 8x=-32\Rightarrow x=-4$

A solução do sistema é, portanto, (-4,1,1).

Assim resolvem-se os sistemas lineares pela técnica do escalonamento: progressivamente vão obtendo-se os valores das variáveis, até que todas as equações possam ser resolvidas. Trata-se de um método prático, que inclusive é utilizado em computadores para resolução de sistemas lineares (embora o enfoque computacional seja um tanto mais complicado e envolva matrizes).

Sistemas com grau de liberdade

É usado na estatística

Método de Gauss

O método de Gauss é um método geral de resolver sistemas de equações lineares, consistindo de uma sequência de passos simples que reduzem o sistema até que a solução se torna óbvia.

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