Matemática elementar/Equações irracionais

Uma equação irracional é uma equação onde existem polinômios e raízes.

Por exemplo:

Uma definição mais precisa seria: uma equação algébrica irracional é uma equação onde existem funções racionais e inversas de funções polinomiais.

Solução

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Um dos métodos de solução é isolar, em um dos membros da equação, os termos que incluem raízes, e elevar ambos os membros a uma mesma potência que elimine a raiz. No entanto, este procedimento não produz uma equação equivalente a original, mas sim uma equação que possui entre as suas soluções os valores que resolvem a equação inicial.

Por exemplo, quando se tem a igualdade entre uma certa expressão   e outra expressão  , pode-se concluir que   Por outro lado, é perfeitamente possível que duas expressões tenham os quadrados iguais, sem que elas próprias sejam iguais. Este é o caso, por exemplo, quando se tem  , pois para a maioria dos números,   (a igualdade só vale para  ). Assim, se durante a resolução ambos os membros forem elevados a uma certa potência, será necessário checar se os valores obtidos como solução para a nova equação são também soluções da equação inicial.

Acompanhe o próximo exemplo:

 

Isolando a raiz, elevando ao quadrado e resolvendo:

 
 
 

Esta equação do segundo grau possui duas soluções, a saber:   e  . Isto não significa que ambos estes números sejam soluções da equação original, pois com os cálculos realizados até agora só é possível dizer que "se   for uma solução para a equação original, então   tem que ser igual a   ou igual a  ".

Resta então saber se algum destes números verifica a equação proposta:

 , logo 3 também é uma solução da primeira equação.
 , logo 0 não é uma solução da equação inicial.

Portanto, a única raiz é "x = 3

Exercícios

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