Matemática elementar/Trigonometria/Funções trigonométricas

Definições

Funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelagem de fenômenos periódicos. Podem ser definidas como razões de dois lados de um triângulo retângulo, contendo o ângulo ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário ou, de forma ainda mais geral, como séries infinitas ou como soluções para certas equações diferenciais.

Existem seis funções trigonométricas básicas, cada uma com a sua abreviatura notacional padrão.

• seno ($\operatorname {sen} ,$ em português; a maioria das linguagens de programação escrevem $\sin \,$).
• coseno ($\cos \,\!$).
• tangente ($\tan \,\!$).

As últimas quatro funções são definidas nos termos das primeiras duas. Por outras palavras, as quatro equações em baixo são definições e não identidades demonstradas.

• tangente $\left(\tan x={\mathrm {sen} \,x \over \cos x}\right)$
• secante $\left(\sec x={1 \over \cos x}\right)$
• cosecante $\left(\csc x={1 \over \mathrm {sen} \,x}\right)$
• cotangente $\left(\cot x={\cos x \over \mathrm {sen} \,x}\right)$

O seno, o cosseno e a tangente são as mais importantes.

As inversas destas funções são geralmente designadas de arco-função, isto é, arcsin, arccos, etc., ou adicionando o expoente -1 ao nome, como em sen^-1, cos^-1, etc. O resultado da função inversa é o ângulo que corresponde ao parâmetro da função. Por exemplo, arcsen(1) = 90°.

Trigonometria do triângulo retângulo

As funções trigonométricas são oriundas das razões dos lados dos triângulos. Com base no triângulo retângulo ao lado, o segmento ${\overline {OB}}$ é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90°), o segmento ${\overline {OA}}$ é o cateto adjacente (ao lado) do ângulo α e ${\overline {AB}}$ é o cateto oposto ao ângulo α:

$\operatorname {sen} \alpha ={\frac {\mbox{cateto oposto}}{\mbox{hipotenusa}}}$	$\csc \alpha ={\frac {\mbox{hipotenusa}}{\mbox{cateto oposto}}}$
$\cos \alpha ={\frac {\mbox{cateto adjacente}}{\mbox{hipotenusa}}}$	$\sec \alpha ={\frac {\mbox{hipotenusa}}{\mbox{cateto adjacente}}}$
$\tan \alpha ={\frac {\mbox{cateto oposto}}{\mbox{cateto adjacente}}}$	$\cot \alpha ={\frac {\mbox{cateto adjacente}}{\mbox{cateto oposto}}}$

Tais funções são constantes para um mesmo ângulo α, pois dois triângulos formados pelos mesmos ângulos mantêm suas proporções.

As funções trigonométricas são utilizadas em geometria, portanto, para determinar um lado ou um ângulo de um triângulo.

Exemplo - A hipotenusa de um triângulo retângulo de ângulos 30° e 60° é igual a 5 centímetros. Qual à medida do cateto oposto ao ângulo de 30°?

$\operatorname {sen} \alpha ={\frac {\mbox{cateto oposto}}{\mbox{hipotenusa}}}\to \operatorname {sen} 30={\frac {\mbox{cateto oposto}}{5}}\to 0,5={\frac {\mbox{cateto oposto}}{5}}\to {\mbox{cateto oposto}}=2,5$

Seno, cosseno e tangente dos ângulos

Na tabela abaixo, temos o seno, cosseno e tangente dos principais ângulos em decimais:

	0°	5°	10°	15°	20°	25°	30°	35°	40°	45°	50°	55°	60°	65°	70°	75°	80°	85°	90°
Seno	0	0,08	0,17	0,25	0,34	0,42	0,5	0,57	0,64	0,7	0,76	0,81	0,86	0,9	0,93	0,96	0,98	0,99	1
Cosseno	1	0,99	0,98	0,96	0,93	0,9	0,86	0,81	0,76	0,7	0,64	0,57	0,5	0,42	0,34	0,25	0,17	0,08	0
Tangente	0	0,08	0,17	0,26	0,36	0,46	0,57	0,7	0,83	1	1,19	1,42	1,73	2,14	2,74	3,73	5,67	11,43	-

Veja que os valores crescentes de sen x são os mesmos para cos x, entretanto são decrescentes. Além disso, a maioria dos senos, cossenos e tangentes dos ângulos são números irracionais. São, portanto, com infinitas casas decimais não periódicas. Todavia, pode-se obter o valor exato das funções trigonométricas em uma forma algébrica. Você pode conferir a forma algébrica de alguns ângulos clicando aqui (em inglês)

Ângulos notáveis

Os ângulos notáveis (0°, 30°, 45°, 60° e 90°) são ângulos que se pode facilmente obter a forma algébrica por meio de triângulos retângulos. Consideremos um triângulo retângulo que corresponde à metade de um triângulo equilátero de lado 1 uc. Tem, portanto, sua hipotenusa c igual a 1, seu lado a igual a 0,5 uc e seu lado b igual a altura do triângulo equilátero, 0,5 √3 uc. Assim:

$\sin 30=\cos 60={\frac {a}{c}}={\frac {0,5}{1}}={\frac {1}{2}}$

Que é o seno de 30° e o cosseno de 60°. O seno de 60° e o cosseno de 30° são obtidos de forma similar:

$\sin 60=\cos 30={\frac {b}{c}}={\frac {0,5{\sqrt {3}}}{1}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$

E assim é possível obter as demais funções trigonométricas para 30° e 60°. Para 45°, considera-se um triângulo retângulo igual à metade de um quadrado de lado 1 uc. Tem, então, hipotenusa de medida √2 uc - a diagonal do quadrado - e os catetos de medida 1 uc - os lados do quadrado:

$\sin 45=\cos 45={\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}$

De forma mais simples, os valores do seno dos cinco ângulos notáveis são o quociente entre x e 2, em que x é a raiz de cada um dos cinco termos a₁, a₂, a₃, a₄ e a₅ de uma progressão aritmética em que a₁ = 0 e a razão é igual a +1. O cosseno destes ângulos é a ordem decrescente da progressão:

	0°	30°	45°	60°	90°
PA	${\frac {\sqrt {0}}{2}}$	${\frac {\sqrt {1}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {4}}{2}}$
Seno =	$0$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$1$
Cosseno =	$1$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	$0$

A tangente é obtida pela dividindo-se o seno do respectivo ângulo pelo seu cosseno, pois:

${\frac {\sin }{\cos }}={\frac {\frac {\mbox{cateto oposto}}{\mbox{hipotenusa}}}{\frac {\mbox{cateto adjacente}}{\mbox{hipotenusa}}}}={\frac {\mbox{cateto oposto}}{\mbox{cateto adjacente}}}=\tan$

Que resulta:

$\tan 0=0$

$\tan 30={\frac {\sqrt {3}}{3}}$

$\tan 45=1$

$\tan 60={\sqrt {3}}$

$\tan 90=-$

A tangente de 90° não é definida, pois é impossível que o ângulo entre a hipotenusa e os catetos seja 90°.

Círculo trigonométrico

Considerando um círculo de 1 uc de raio, este tem sua circunferência igual a 2π uc. Portanto, um setor de um grau deste círculo corresponde a:

${\frac {2\pi }{360}}\mathrm {uc} ={\frac {\pi }{180}}\mathrm {uc}$

Podemos transformar a unidade de medida uc (unidades de comprimento) em rad (radianos). Assim, podemos dizer que:

$1^{\circ }={\frac {\pi }{180}}\mathrm {rad}$

Colocando os ângulos notáveis neste círculo obtêm-se os valores (x; y) em que x é o cosseno do ângulo e y o seno:

Observa-se em tais valores que à medida em que os ângulos avançam de quadrante os valores de seno e cosseno tem seu sinal alternado. É perfeitamente notável que tais funções seguem, então, uma periodicidade infinita, e seus valores repetiram a cada volta do círculo. Deste mesmo círculo, pode-se obter as demais funções trigonométricas, que não são mais que relações do triângulo retângulo entre a origem, a coordenada e ponto (x; 0):

Gráficos

Podemos colocar as funções trigonométricas em um plano cartesiano, em que o eixo das abcissas equivale ao ângulo em radianos e o eixo das ordenadas ao contradomínio da função.

Seno

Colocando-se os resultados obtidos para a função seno num plano, obteremos:

Observe que a função seno é uma função ímpar, pois sen (-x) = -sen x, qualquer que seja x pertencente aos números reais. Note que esta função é composta por infinitos intervalos 2π. Dizemos, então, que o período da função sen (x) é 2π. Quanto ao contradomínio, ele pertence ao intervalo [-1; 1]. A distância entre o centro e o limite da função é a amplitude. Neste caso, a amplitude da função é igual a 1. O gráfico da função seno forma uma senoide. Pode-se determinar o seno de qualquer ângulo através das seguintes equações:

$x\lbrace x\in \mathbb {R} |0<x\leq 90\rbrace \equiv y-90(4z+w)$ $x\left\{x\in \mathbb {R} |0<x\leq {\frac {\pi }{2}}\right\}\equiv y-{\frac {\pi }{2}}(4z+w)$

Para as quais: $\sin y{\begin{cases}w=0\to \sin x\\w=1\to \cos x\\w=2\to -\sin x\\w=3\to -\cos x\end{cases}}$

Onde y é um ângulo qualquer e z um número inteiro.

Exemplo - Qual o seno de 500°?

$x\lbrace x\in \mathbb {R} |0<x\leq 90\rbrace \equiv 500-90(4z+w)$

Os únicos números z e w que satisfaçam 500 - 90 (4z + w) = x onde x pertence ao intervalo ]0; 90] é z = 1 e w = 1. Veja:

$500-90(4+1)\equiv x\to x\equiv 50$

Já que w = 1, então o seno de 500° é igual ao cosseno de 50°, que temos na primeira tabela desta página. Portanto, o seno de 500° é 0,64.

Cosseno

O gráfico da função cosseno é o seguinte:

Esta é uma função par, pois cos (-x) = cos x, qualquer que seja x pertencente ao conjunto dos números reais. Igual à função seno, a função cosseno tem período igual a 2π e amplitude igual a 1. O gráfico da função cosseno forma uma cossenoide. De forma similar à função seno, podemos transformar qualquer ângulo real para 0° < x ≤ 90° e assim obter seu cosseno:

$x\lbrace x\in \mathbb {R} |0<x\leq 90\rbrace \equiv y-90(4z+w)$ $x\left\{x\in \mathbb {R} |0<x\leq {\frac {\pi }{2}}\right\}\equiv y-{\frac {\pi }{2}}(4z+w)$

Para as quais: $\cos y{\begin{cases}w=0\to \cos x\\w=1\to -\sin x\\w=2\to -\cos x\\w=3\to \sin x\end{cases}}$

Onde y é um ângulo qualquer e z um número inteiro.

Exemplo - Qual o maior ângulo negativo no qual seu cosseno é igual ao seno de 30°?

Para que o ângulo y tenha seu cosseno igual ao seno de 30°, w deve ser igual a 3:

$30\equiv y-90(4z+3)$

Já que a equivalência é verdadeira, há infinitos números z que a satisfazem. No entanto, a questão especifica que este deve ser o maior negativo, portanto, z = -1:

$30\equiv y+90\to y=-60$

Tangente

Já para o gráfico da função tangente, temos:

A função tangente é uma função ímpar pois é o quociente de uma função ímpar e uma função par. É, pois, tan (-x) = - tan x {x ∈ R}. O período desta função é igual a π, e sua amplitude estende-se ao infinito. O gráfico da função tangente forma uma tangentoide. Para determinar a tangente de um ângulo qualquer, temos, para 0° ≤ x < 90°:

$\tan y{\begin{cases}180z\leq y<180z+90\to \tan(y-180z)=\tan y=\tan x\\180z+90\leq y<180(z+1)\to |y-180(z+1)|=x\to \tan y=-\tan x\end{cases}}$

Onde y é um ângulo qualquer e z um número inteiro.

Exemplo - A tangente do ângulo 20° é igual à tangente de -200°?

O primeiro passo é determinar a qual conjunto pertence -200°. Veja que este encaixa-se perfeitamente em 180z + 90 ≤ y < 180 (z + 1) quando z = -2:

$-270\leq y<-180$

Então,

$x=|-200-180(-2+1)|=20$

E assim:

$-\tan 20=\tan -200$

Logo, a tangente de -200° não é igual à tangente de 20°, mas sim à tangente de 20° negativa.

Características

Nesta imagem, a é a amplitude e b o período.

Dados a + b sen (cx - dπ) ou a + b cos (cx - dπ), que são as equações da senoide e da cossenoide, respectivamente, determina-se:

• a + b e a - b - os limites (0; a+b) e (0; a-b) da função trigonométrica, equivalente ao conjunto imagem Im = [a+b; a-b];
• 2π ÷ c - o período da função;
• d - o deslocamento horizontal da função trigonométrica.

A partir destes valores tem-se a amplitude (A), dada pela média aritmética da distância entre as ordenadas dos limites:

$A={\frac {|a+b|+|a-b|}{2}}$

Propriedades

Cosseno ao quadrado mais seno ao quadrado

Definição de seno e cosseno

Diretamente da figura que define seno e cosseno (ao lado), temos, pelo triângulo retângulo no primeiro quadrante, que:

• $(\cos x)^{2}+(\mathrm {sen} \,x)^{2}=1^{2}\,$

É convencional escrever o quadrado de uma função trigonométrica colocando-se o sinal imediatamente ao lado do nome da função. Assim, esta relação é escrita:

• $\cos ^{2}x+\mathrm {sen} \,^{2}x=1\,.$

A geometria do triângulo retângulo prova esta relação no caso de $0<x<\pi /2\,,$ ou seja, para ângulos no primeiro quadrante. Nos casos $x=\pi /2,\pi {\mbox{ ou }}3\pi /2\,,$ temos que um deles (seno ou cosseno) vale 1, e o outro vale 0, logo a soma dos seus quadrados é 1.

Nos demais casos, temos:

Se x está no segundo quadrante, então $y=\pi /2-x\,$ está no primeiro quadrante, e:

$\cos x=-\cos(\pi /2-x)\,:$ : $\mathrm {sen} \,x=\mathrm {sen} \,(\pi /2-x)\,:$ portanto:

$\cos ^{2}x+\mathrm {sen} \,^{2}x=\cos ^{2}(\pi /2-x)+\mathrm {sen} \,^{2}(\pi /2-x)=\cos ^{2}y+\mathrm {sen} \,^{2}y=1\,$

Analogamente:

Se x está no terceiro quadrante, então $y=x-\pi \,$ está no primeiro quadrante, e:

$\cos x=-\cos(x-\pi )\,:$ : $\mathrm {sen} \,x=-\mathrm {sen} \,(x-\pi )\,:$ portanto:

$\cos ^{2}x+\mathrm {sen} \,^{2}x=\cos ^{2}(x-\pi )+\mathrm {sen} \,^{2}(x-\pi )=\cos ^{2}y+\mathrm {sen} \,^{2}y=1\,$

Finalmente:

Se x está no quarto quadrante, então $y=-x\,$ está no primeiro quadrante, e:

$\cos x=\cos(-x)\,:$ : $\mathrm {sen} \,x=-\mathrm {sen} \,(-x)\,:$ portanto:

$\cos ^{2}x+\mathrm {sen} \,^{2}x=\cos ^{2}(-x)+\mathrm {sen} \,^{2}(-x)=\cos ^{2}y+\mathrm {sen} \,^{2}y=1\,$

Ou seja, a relação

$cos^{2}x+sen^{2}x=1\,$

é válida para qualquer ângulo real x.

Propriedades do quadrado da secante e da cossecante

Lembrando que:

${\mbox{sec}}x={\frac {1}{\cos x}}\,:$ ${\mbox{cosec}}x={\frac {1}{\mathrm {sen} \,x}}\,:$ ${\mbox{tan}}x={\frac {\mathrm {sen} \,x}{\cos x}}\,:$ ${\mbox{cotan}}x={\frac {\cos x}{\mathrm {sen} \,x}}\,$

temos que:

Dividindo $\cos ^{2}x+\mathrm {sen} \,^{2}x=1\,$ por $\cos ^{2}x\,:$

${\mbox{tan}}^{2}+1={\mbox{sec}}^{2}x\,:$

Dividindo $\cos ^{2}x+\mathrm {sen} \,^{2}x=1\,$ por $\mathrm {sen} \,^{2}x\,:$

${\mbox{cotan}}^{2}+1={\mbox{cosec}}^{2}x\,$

Exercícios

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