Matemática elementar/Trigonometria/Adição, subtração, duplicação e bissecção de arcos


Nesta página aprenderemos a efetuar operações trigonométricas que envolvam a adição, subtração ou multiplicação de números reais.

Adição de arcosEditar

Cosseno da somaEditar

Considere a figura ao lado. Sejam três pontos     e   pertencentes à circunferência , cujas coordenadas são     e   Os arcos   e   têm medidas iguais, logo as cordas   e   também têm a mesma medida. Após aplicarmos a fórmula da distância entre dois pontos da Geometria analítica, temos:

 

 

Ao igualarmos as duas expressões, temos a fórmula:

      

Seno da somaEditar

Sabemos que   A partir disto e sendo   obtemos:

  •  

Utilizando a fórmula do cosseno da diferença de dois arcos nessa última expressão:

  •  

Substituindo   e   nesta expressão, então:

        

Tangente da somaEditar

Sabendo que   e utilizando as fórmulas anteriores para soma de senos e cossenos, podemos facilmente conseguir uma expressão para  

  •  

 

Então:

     

Vale lembrar que essa fórmula só pode ser usada se   e   porque a relação   só é válida se e somente se  

Cotangente da somaEditar

Como   podemos obter, de maneira semelhante à formula da tangente da soma, uma expressão para  

  •  

 

Simplificando, temos:

        

Como   é válida se e somente se   a identidade que demonstramos acima só pode ser usada se   e  

ExemplosEditar

  • Calcule:
               


    • Resolução
   

                   

Subtração de arcosEditar

Cosseno da diferençaEditar

Para calcular   fazemos uso da igualdade   na fórmula do cosseno da soma, conforme a seguir:

  •  

   

Então:

     

Seno da diferençaEditar

Podemos fazer a mesma substituição da igualdade   para encontrar as outras relações de diferença de arcos. Para o seno, usaremos a fórmula do seno da soma e a igualdade citada acima, conforme a seguir:

  •  

Logo,

     

Tangente da diferençaEditar

Usando novamente a igualdade   e, desta vez, a fórmula da tangente da soma:

  •  

Simplificando, temos:

    

Pelos motivos já citados anteriormente, esta fórmula só é válida se   e  

Cotangente da diferençaEditar

Mais uma vez, usaremos a igualdade   e, desta vez, a fórmula da cotangente da soma:

  •  

Logo, obtemos a identidade:

     

Está fórmula só pode ser aplicada se   e  

ExemplosEditar

  • Calcule:
           


    • Resolução


     


     


     


  • Dados   e   calcule  
    • Resolução

   

Multiplicação de arcosEditar

É possível deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas de   utilizando as fórmulas obtidas para a soma de arcos e fazendo   conforme será mostrado adiante.

CossenoEditar

Usando a fórmula do cosseno da soma, temos:

  •  

Logo, utilizando a Identidade relacional básica, podemos obter duas fórmulas finais:

     
     ou                  
     
  •  

   

Utilizando a Identidade relacional básica e trabalhando algebricamente, temos:

     

Expressões para   são obtidas por processos semelhantes.

SenoEditar

Ultilizando a fórmula do seno da soma:

  •  

Então, temos:

   
  •  

 

Utilizando a Identidade relacional básica:

  •  

Logo:

   

Expressões para   são obtidas por processos semelhantes.

TangenteEditar

A partir da fórmula da tangente da soma:

  •  

Logo:

    
  •  

Ao subtituimos a fórmula anterior para   e simplificarmos, obtemos como fórmula final:

   

Expressões para   são obtidas por processos semelhantes.

ExemploEditar

  • Se   e   calcule  
    • Resolução

Precisamos encontrar   para aplicarmos a fórmula. Para tanto, utilizaremos a identidade   que relaciona as funções cotangente e cossecante. A partir da cossecante obtida, podemos encontrar o valor do seno, uma vez que   Como   o valor da cossecante é positivo.

 

De onde vem  

Podemos finalmente calcular:

 

Bissecção de arcosEditar

CossenoEditar

Vamos utilizar as duas fórmulas que encontramos para   a fim de que, dado o cosseno de uma arco   qualquer, possamos obter   ou   Para isto, consideraremos  

A partir de  

  •  
    

A partir de   temos:

  •  
    

Finalmente, sabendo que   temos:

  •  
   

SenoEditar

Caso nos seja dado o   sabendo que   calculamos   e usamos as fórmulas dadas logo acima para o cosseno.

TangenteEditar

Precisamos agora encontrar fórmulas que permitam calcular     e   conhecida a   Para tanto, tomaremos as fórmulas de multiplicação

 

 

e consideraremos   de modo que:

       
       
       

ExemplosEditar

  • Se   com   calcule as funções circulares de  


    • Resolução

 

Logo, temos:

     


  • Se   determine  


    • Resolução


Podemos aplicar diretamente a fórmula, de modo que:

 

ExercíciosEditar


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