Estática aplicada a um volume de controle diferencial
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Análise das forças de superfície
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Considerando o volume δV como um cubo em um sistema de coordenadas cartesianas, situado originalmente no ponto P(x0 ,y0 ,z0 ), podemos escrever que a força atuando no sentido do eixo X é a soma das forças nesse sentido atuando em cada uma das faces
δ
F
x
=
δ
F
x
X
+
+
δ
F
x
X
−
+
δ
F
x
Y
+
+
δ
F
x
Y
−
+
δ
F
x
Z
+
+
δ
F
x
Z
−
{\displaystyle \delta F_{x}\;=\;\delta F_{xX+}\;+\;\delta F_{xX-}\;+\;\delta F_{xY+}\;+\;\delta F_{xY-}\;+\;\delta F_{xZ+}\;+\;\delta F_{xZ-}}
xX+ indica a força atuando no sentido do eixo X na face que repousa sobre o plano X+, e assim por diante.
definição de tensões ,
δ
F
x
X
+
=
σ
x
x
(
x
0
+
δ
x
)
⋅
δ
A
X
{\displaystyle \delta F_{xX+}\;=\;\sigma _{xx}(x_{0}\;+\;\delta x)\cdot \delta A_{X}}
δ
F
x
X
−
=
−
σ
x
x
(
x
0
)
⋅
δ
A
X
{\displaystyle \delta F_{xX-}\;=\;-\sigma _{xx}(x_{0})\cdot \delta A_{X}}
δ
F
x
Y
+
=
τ
y
x
(
y
0
+
δ
y
)
⋅
δ
A
Y
{\displaystyle \delta F_{xY+}\;=\;\tau _{yx}(y_{0}\;+\;\delta y)\cdot \delta A_{Y}}
δ
F
x
Y
−
=
−
τ
y
x
(
y
0
)
⋅
δ
A
Y
{\displaystyle \delta F_{xY-}\;=\;-\tau _{yx}(y_{0})\cdot \delta A_{Y}}
δ
F
x
=
[
σ
x
x
(
x
0
+
δ
x
)
−
σ
x
x
(
x
0
)
]
⋅
δ
A
X
+
[
τ
y
x
(
y
0
+
δ
y
)
−
τ
y
x
(
y
0
)
]
⋅
δ
A
Y
+
[
τ
z
x
(
z
0
+
δ
z
)
−
τ
z
x
(
z
0
)
]
⋅
δ
A
Z
{\displaystyle \delta F_{x}\;=\;\left[\sigma _{xx}(x_{0}\;+\;\delta x)\;-\;\sigma _{xx}(x_{0})\right]\cdot \delta A_{X}\;+\;\left[\tau _{yx}(y_{0}\;+\;\delta y)\;-\;\tau _{yx}(y_{0})\right]\cdot \delta A_{Y}\;+\;\left[\tau _{zx}(z_{0}\;+\;\delta z)\;-\;\tau _{zx}(z_{0})\right]\cdot \delta A_{Z}}
δ
F
x
=
δ
σ
x
x
⋅
δ
A
X
+
δ
τ
y
x
⋅
δ
A
Y
+
δ
τ
z
x
⋅
δ
A
Z
{\displaystyle \delta F_{x}\;=\;\delta \sigma _{xx}\cdot \delta A_{X}\;+\;\delta \tau _{yx}\cdot \delta A_{Y}\;+\;\delta \tau _{zx}\cdot \delta A_{Z}}
δ
F
x
=
∂
σ
x
x
∂
x
⋅
δ
x
⋅
δ
A
X
+
∂
τ
y
x
∂
y
⋅
δ
y
⋅
δ
A
Y
+
∂
τ
z
x
∂
z
⋅
δ
z
⋅
δ
A
Z
{\displaystyle \delta F_{x}\;=\;{\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}\cdot \delta x\cdot \delta A_{X}\;+\;{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}\cdot \delta y\cdot \delta A_{Y}\;+\;{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}\cdot \delta z\cdot \delta A_{Z}}
δ
F
x
=
(
∂
σ
x
x
∂
x
+
∂
τ
y
x
∂
y
+
∂
τ
z
x
∂
z
)
⋅
δ
V
{\displaystyle \delta F_{x}\;=\;\left({\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}\right)\cdot \delta V}
y e δFz .
δ
F
y
=
(
∂
τ
x
y
∂
x
+
∂
σ
y
y
∂
y
+
∂
τ
z
y
∂
z
)
⋅
δ
V
{\displaystyle \delta F_{y}\;=\;\left({\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}\right)\cdot \delta V}
δ
F
z
=
(
∂
τ
x
z
∂
x
+
∂
τ
y
z
∂
y
+
∂
σ
z
z
∂
z
)
⋅
δ
V
{\displaystyle \delta F_{z}\;=\;\left({\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}\right)\cdot \delta V}
Análise das forças do corpo
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As forças do corpo podem ter diversas origens, e em cada caso uma expressão específica precisa ser derivada. A força do corpo mais importante é, obviamente, o peso do fluido. Essa força geralmente aparece apenas na direção do eixo Z e pode ser expressa por
δ
F
z
=
−
ρ
g
δ
V
{\displaystyle \delta F_{z}\;=\;-\;\rho g\;\delta V}
![{\displaystyle \delta F_{x}\;=\;\left[\sigma _{xx}(x_{0}\;+\;\delta x)\;-\;\sigma _{xx}(x_{0})\right]\cdot \delta A_{X}\;+\;\left[\tau _{yx}(y_{0}\;+\;\delta y)\;-\;\tau _{yx}(y_{0})\right]\cdot \delta A_{Y}\;+\;\left[\tau _{zx}(z_{0}\;+\;\delta z)\;-\;\tau _{zx}(z_{0})\right]\cdot \delta A_{Z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb110f1b4ca2cc6f3f0028ad7337fef4a6edff0)
