Mecânica dos fluidos/Equações básicas em forma diferencial

Equações básicas em forma diferencial

editar

As equações básicas para sistemas e volumes de controle estão expressas em forma integral. Essa forma é conveniente quando se deseja analisar o comportamento macroscópico de um fluido, entendido como um campo de propriedades. Para obter o valor dessas propriedades em cada ponto do espaço, no entanto, elas não servem; para isso é preciso expressar as equações em forma diferencial e resolver as equações diferenciais resultantes.

Equação de continuidade

editar

A forma diferencial da equação de continuidade pode ser derivada tomando-se as equações para um volume de controle C e considerando-o como um elemento de volume infinitesimal δV e superfície δS.


 


Podemos reescrever a equação como


 


e aplicar o teorema de Gauss (ou teorema da divergência):


 


obtendo


 


que é a forma diferencial da equação de continuidade.

Conservação do momento linear

editar

De acordo com a segunda lei de Newton, a força atuante sobre um elemento de volume infinitesimal δV é igual à variação do seu momento linear. Assim, podemos escrever


 


Mas, de acordo com as análises anteriores sobre o momento linear, sabemos que sua variação está relacionada à derivada material de acordo com a expressão


 


E, de acordo com as análises anteriores sobre as forças aplicadas, sabemos que podemos relacionar essas forças de acordo com as expressões


 


 


 


 


para o caso em que a única força do corpo relevante é o peso do líquido e os eixos coordenados são escolhidos de maneira ao eixo Z ficar na vertical e apontando para cima. Como δm = ρ δV, podemos escrever


 


que é a equação de conservação do momento em forma diferencial para coordenadas cartesianas.

Primeira lei da termodinâmica

editar

Aplicando a primeira lei da termodinâmica a um volume de controle infinitesimal, teremos, considerando um escoamento de regime permanente e na ausência de trabalho realizado, teremos, ao usar a formulação mais extensa:


 


 


onde v, ρ, u e σ são os valores vigentes no centro do volume, v1, ρ1, u1 e σ1 são os valores vigentes na face posterior do volume, e v2, ρ2, u2 e σ2 são os valores vigentes na face anterior do volume. Aplicando a equação da continuidade, ρ1 · v1 · A1 = ρ2 · v2 · A2 = dm/dt


 


 


 

Exercícios resolvidos

editar