As equações básicas para sistemas e volumes de controle estão expressas em forma integral. Essa forma é conveniente quando se deseja analisar o comportamento macroscópico de um fluido, entendido como um campo de propriedades. Para obter o valor dessas propriedades em cada ponto do espaço, no entanto, elas não servem; para isso é preciso expressar as equações em forma diferencial e resolver as equações diferenciais resultantes.
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A forma diferencial da equação de continuidade pode ser derivada tomando-se as equações para um volume de controle C e considerando-o como um elemento de volume infinitesimal δV e superfície δS.
∂
∂
t
∫
δ
V
ρ
d
V
+
∫
δ
S
ρ
(
v
→
⋅
d
S
→
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{\delta V}\rho dV\;+\;\int _{\delta S}\rho ({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})\;=\;0}
∫
δ
V
∂
ρ
∂
t
d
V
+
∫
δ
S
(
ρ
v
→
⋅
d
S
→
)
=
0
{\displaystyle \int _{\delta V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}dV\;+\;\int _{\delta S}(\rho {\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})\;=\;0}
teorema de Gauss (ou teorema da divergência):
∫
V
(
∇
⋅
f
→
)
d
V
=
∫
S
(
f
→
⋅
d
S
→
)
{\displaystyle \int _{V}(\nabla \cdot {\vec {f}})dV\;=\;\int _{S}({\vec {f}}\cdot d{\vec {S}})}
∫
δ
V
∂
ρ
∂
t
d
V
+
∫
δ
V
(
∇
⋅
(
ρ
v
→
)
)
d
V
=
0
⇒
∂
ρ
∂
t
+
(
∇
⋅
(
ρ
v
→
)
)
=
0
{\displaystyle \int _{\delta V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}dV\;+\;\int _{\delta V}(\nabla \cdot (\rho {\vec {v}}))dV\;=\;0\Rightarrow \;\;\;{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;+\;(\nabla \cdot (\rho {\vec {v}}))\;=\;0}
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De acordo com a segunda lei de Newton, a força atuante sobre um elemento de volume infinitesimal δV é igual à variação do seu momento linear. Assim, podemos escrever
δ
F
→
=
δ
M
→
{\displaystyle \delta {\vec {F}}\;=\;\delta {\vec {M}}}
análises anteriores sobre o momento linear , sabemos que sua variação está relacionada à derivada material de acordo com a expressão
δ
M
→
=
δ
m
⋅
a
→
=
δ
m
(
v
→
⋅
∇
v
→
+
∂
v
→
∂
t
)
{\displaystyle \delta {\vec {M}}\;=\;\delta m\cdot {\vec {a}}\;=\;\delta m\left({\vec {v}}\cdot \nabla {\vec {v}}\;+\;{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}\right)}
análises anteriores sobre as forças aplicadas , sabemos que podemos relacionar essas forças de acordo com as expressões
δ
F
→
=
δ
F
x
u
→
x
+
δ
F
y
u
→
y
+
δ
F
z
u
→
z
{\displaystyle \delta {\vec {F}}\;=\;\delta F_{x}\;{\vec {u}}_{x}\;+\;\delta F_{y}\;{\vec {u}}_{y}\;+\;\delta F_{z}\;{\vec {u}}_{z}}
δ
F
x
=
(
∂
σ
x
x
∂
x
+
∂
τ
y
x
∂
y
+
∂
τ
z
x
∂
z
)
⋅
δ
V
{\displaystyle \delta F_{x}\;=\;\left({\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}\right)\cdot \delta V}
δ
F
y
=
(
∂
τ
x
y
∂
x
+
∂
σ
y
y
∂
y
+
∂
τ
z
y
∂
z
)
⋅
δ
V
{\displaystyle \delta F_{y}\;=\;\left({\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}\right)\cdot \delta V}
δ
F
z
=
(
∂
τ
x
z
∂
x
+
∂
τ
y
z
∂
y
+
∂
σ
z
z
∂
z
−
ρ
g
)
⋅
δ
V
{\displaystyle \delta F_{z}\;=\;\left({\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}\;-\;\rho g\right)\cdot \delta V}
(
∂
σ
x
x
∂
x
+
∂
τ
y
x
∂
y
+
∂
τ
z
x
∂
z
)
u
→
x
+
(
∂
τ
x
y
∂
x
+
∂
σ
y
y
∂
y
+
∂
τ
z
y
∂
z
)
u
→
y
+
(
∂
τ
x
z
∂
x
+
∂
τ
y
z
∂
y
+
∂
σ
z
z
∂
z
−
ρ
g
)
u
→
z
=
ρ
(
v
→
⋅
∇
v
→
+
∂
v
→
∂
t
)
{\displaystyle \left({\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}\right)\;{\vec {u}}_{x}\;+\;\left({\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}\right)\;{\vec {u}}_{y}\;+\;\left({\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}\;-\;\rho g\right)\;{\vec {u}}_{z}\;=\;\rho \left({\vec {v}}\cdot \nabla {\vec {v}}\;+\;{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}\right)}
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Aplicando a primeira lei da termodinâmica a um volume de controle infinitesimal, teremos, considerando um escoamento de regime permanente e na ausência de trabalho realizado, teremos, ao usar a formulação mais extensa:
d
Q
d
t
+
d
W
Ω
d
t
+
d
W
τ
d
t
+
d
W
o
u
t
r
o
d
t
=
∂
∂
t
∫
C
ρ
(
u
+
v
2
2
)
d
V
+
∫
S
[
ρ
(
u
+
v
2
2
)
−
σ
]
(
v
→
⋅
d
S
→
)
{\displaystyle {\frac {dQ}{dt}}\;+\;{\frac {dW_{\Omega }}{dt}}\;+\;{\frac {dW_{\tau }}{dt}}\;+\;{\frac {dW_{outro}}{dt}}\;=\;{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho \left(u\;+\;{\frac {v^{2}}{2}}\right)dV\;+\;\int _{S}\left[\rho \left(u\;+\;{\frac {v^{2}}{2}}\right)\;-\;\sigma \right]({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})}
d
Q
d
t
+
0
=
∂
∂
t
(
ρ
(
u
+
v
2
2
)
δ
V
)
+
(
−
[
ρ
1
(
u
1
+
v
1
2
2
)
−
σ
1
]
(
v
1
A
1
)
+
[
ρ
2
(
u
2
+
v
2
2
2
)
−
σ
2
]
(
v
2
A
2
)
)
{\displaystyle {\frac {dQ}{dt}}\;+\;0\;=\;{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho \left(u\;+\;{\frac {v^{2}}{2}}\right)\delta _{V}\right)\;+\;\left(-\;\left[\rho _{1}\left(u_{1}\;+\;{\frac {v_{1}^{2}}{2}}\right)\;-\;\sigma _{1}\right](v_{1}A_{1})\;+\;\left[\rho _{2}\left(u_{2}\;+\;{\frac {v_{2}^{2}}{2}}\right)\;-\;\sigma _{2}\right](v_{2}A_{2})\right)}
1 , ρ1 , u1 e σ1 são os valores vigentes na face posterior do volume, e v2 , ρ2 , u2 e σ2 são os valores vigentes na face anterior do volume. Aplicando a equação da continuidade, ρ1 · v1 · A1 = ρ2 · v2 · A2 = dm/dt
d
Q
d
t
=
0
+
(
0
−
[
(
u
1
+
v
1
2
2
)
−
σ
1
ρ
1
]
(
ρ
1
v
1
A
1
)
+
[
(
u
2
+
v
2
2
2
)
−
σ
2
ρ
2
]
(
ρ
2
v
2
A
2
)
)
{\displaystyle {\frac {dQ}{dt}}\;=\;0\;+\;\left(0\;-\;\left[\left(u_{1}\;+\;{\frac {v_{1}^{2}}{2}}\right)\;-\;{\frac {\sigma _{1}}{\rho _{1}}}\right](\rho _{1}v_{1}A_{1})\;+\;\left[\left(u_{2}\;+\;{\frac {v_{2}^{2}}{2}}\right)\;-\;{\frac {\sigma _{2}}{\rho _{2}}}\right](\rho _{2}v_{2}A_{2})\right)}
d
Q
d
t
=
(
−
[
(
u
1
+
v
1
2
2
)
−
σ
1
ρ
1
]
+
[
(
u
2
+
v
2
2
2
)
−
σ
2
ρ
2
]
)
d
m
d
t
{\displaystyle {\frac {dQ}{dt}}\;=\;\left(-\;\left[\left(u_{1}\;+\;{\frac {v_{1}^{2}}{2}}\right)\;-\;{\frac {\sigma _{1}}{\rho _{1}}}\right]\;+\;\left[\left(u_{2}\;+\;{\frac {v_{2}^{2}}{2}}\right)\;-\;{\frac {\sigma _{2}}{\rho _{2}}}\right]\right){\frac {dm}{dt}}}
d
Q
d
m
=
[
(
u
2
+
v
2
2
2
)
−
σ
2
ρ
2
]
−
[
(
u
1
+
v
1
2
2
)
−
σ
1
ρ
1
]
{\displaystyle {\frac {dQ}{dm}}\;=\;\left[\left(u_{2}\;+\;{\frac {v_{2}^{2}}{2}}\right)\;-\;{\frac {\sigma _{2}}{\rho _{2}}}\right]\;-\;\left[\left(u_{1}\;+\;{\frac {v_{1}^{2}}{2}}\right)\;-\;{\frac {\sigma _{1}}{\rho _{1}}}\right]}
}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d205397190bcd08199e152b9cb3c71451d7962c7)
\;+\;\left[\rho _{2}\left(u_{2}\;+\;{\frac {v_{2}^{2}}{2}}\right)\;-\;\sigma _{2}\right](v_{2}A_{2})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/492ae42c82ad75fb23fdab9c1615f8c5b4b02743)
\;+\;\left[\left(u_{2}\;+\;{\frac {v_{2}^{2}}{2}}\right)\;-\;{\frac {\sigma _{2}}{\rho _{2}}}\right](\rho _{2}v_{2}A_{2})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63842c6f9fe6ebe9a9b8970e0a2c54655ce43eee)
![{\displaystyle {\frac {dQ}{dt}}\;=\;\left(-\;\left[\left(u_{1}\;+\;{\frac {v_{1}^{2}}{2}}\right)\;-\;{\frac {\sigma _{1}}{\rho _{1}}}\right]\;+\;\left[\left(u_{2}\;+\;{\frac {v_{2}^{2}}{2}}\right)\;-\;{\frac {\sigma _{2}}{\rho _{2}}}\right]\right){\frac {dm}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568b541424014d4a0dbad5428fac6a5ac4e88d11)
![{\displaystyle {\frac {dQ}{dm}}\;=\;\left[\left(u_{2}\;+\;{\frac {v_{2}^{2}}{2}}\right)\;-\;{\frac {\sigma _{2}}{\rho _{2}}}\right]\;-\;\left[\left(u_{1}\;+\;{\frac {v_{1}^{2}}{2}}\right)\;-\;{\frac {\sigma _{1}}{\rho _{1}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cab1faf756f35a7a0577a6b449d67179c7a5ba72)