Calcular a pressão no oceano a uma profundidade de 1500 m, considerando a água salgada como um líquido compressível com ε = 21.000 kg/cm2 e densidade absoluta de 1025 kg/m3 na superfície.
Dados do problema
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ρ0
1025 kg/m3 hf
1500 m
pf
a calcular
ε = 21.000 kg/cm2
Da definição de módulo de elasticidade volumétrica
ϵ = − d p ( d V V ) ⇒ d V V = − 1 ϵ d p {\displaystyle \epsilon \;=\;-{\frac {dp}{({\frac {dV}{V}})}}\Rightarrow \;\;\;{\frac {dV}{V}}\;=\;-{\frac {1}{\epsilon }}\;dp}
Como equação de estado, utilizemos a relação ρV = m = constante. Assim, d(ρV) = ρdV + Vdρ = 0, e
d ρ ρ = − d V V = 1 ϵ d p {\displaystyle {\frac {d\rho }{\rho }}\;=\;-{\frac {dV}{V}}\;=\;{\frac {1}{\epsilon }}\;dp}
Integrando, teremos
∫ d ρ ρ = 1 ϵ ∫ d p ⇒ p f = p 0 + ϵ ln ( ρ f ρ 0 ) {\displaystyle \int {\frac {d\rho }{\rho }}\;=\;{\frac {1}{\epsilon }}\int dp\Rightarrow \;\;\;p_{f}\;=\;p_{0}+\epsilon \ln \left({\frac {\rho _{f}}{\rho _{0}}}\right)}
Da equação básica
d p d z = − ρ g {\displaystyle {\frac {dp}{dz}}\;=\;-\rho g}
tiramos que dp = - ρdz = ρdh, pois vamos considerar h como uma profundidade (h = -z). Assim,
d ρ ρ = 1 ϵ d p = 1 ϵ ρ d h ⇒ d ρ ρ 2 = 1 ϵ d h {\displaystyle {\frac {d\rho }{\rho }}\;=\;{\frac {1}{\epsilon }}\;dp\;=\;{\frac {1}{\epsilon }}\rho dh\Rightarrow \;\;\;{\frac {d\rho }{\rho ^{2}}}\;=\;{\frac {1}{\epsilon }}\;dh}
Integrando, teremos
∫ d ρ ρ 2 = 1 ϵ ∫ d h ⇒ ( 1 ρ 0 − 1 ρ f ) = 1 ϵ ( h f − h 0 ) {\displaystyle \int {\frac {d\rho }{\rho ^{2}}}\;=\;{\frac {1}{\epsilon }}\int dh\Rightarrow \;\;\;\left({\frac {1}{\rho _{0}}}\;-\;{\frac {1}{\rho _{f}}}\right)\;=\;{\frac {1}{\epsilon }}(h_{f}\;-\;h_{0})}
1 ρ f = 1 ρ 0 − 1 ϵ ( h f − h 0 ) ⇒ ρ f = 1 1 ρ 0 − 1 ϵ ( h f − h 0 ) {\displaystyle {\frac {1}{\rho _{f}}}\;=\;{\frac {1}{\rho _{0}}}\;-\;{\frac {1}{\epsilon }}(h_{f}\;-\;h_{0})\Rightarrow \;\;\;\ \rho _{f}\;=\;{\frac {1}{{\frac {1}{\rho _{0}}}\;-\;{\frac {1}{\epsilon }}(h_{f}\;-\;h_{0})}}}
ρ f ρ 0 = 1 1 − ρ 0 ϵ ( h f − h 0 ) {\displaystyle {\frac {\rho _{f}}{\rho _{0}}}\;=\;{\frac {1}{1\;-\;{\frac {\rho _{0}}{\epsilon }}(h_{f}\;-\;h_{0})}}}
E assim
p f = p 0 + ϵ ln ( ρ f ρ 0 ) = p 0 + ϵ ln ( 1 1 − ρ 0 ϵ ( h f − h 0 ) ) {\displaystyle p_{f}\;=\;p_{0}+\epsilon \ln \left({\frac {\rho _{f}}{\rho _{0}}}\right)\;=\;p_{0}\;+\;\epsilon \ln \left({\frac {1}{1\;-\;{\frac {\rho _{0}}{\epsilon }}(h_{f}\;-\;h_{0})}}\right)}
p f = p 0 − ϵ ln ( 1 − ρ 0 ϵ ( h f − h 0 ) ) {\displaystyle p_{f}\;=\;p_{0}\;-\;\epsilon \ln \left(1\;-\;{\frac {\rho _{0}}{\epsilon }}(h_{f}\;-\;h_{0})\right)}
p f = 0 − 21000 k g / c m 2 ln ( 1 − 1025 k g / m 3 21000 k g / c m 2 ( 1500 m − 0 ) ) = − 210000000 k g / m 2 ln ( 1 − 1025 k g / m 3 210000000 k g / c m 2 ⋅ 1500 m ) {\displaystyle p_{f}\;=\;0\;-\;21000\;kg/cm^{2}\ln \left(1\;-\;{\frac {1025\;kg/m^{3}}{21000\;kg/cm^{2}}}(1500\;m\;-\;0)\right)\;=\;\;-\;210000000\;kg/m^{2}\ln \left(1\;-\;{\frac {1025\;kg/m^{3}}{210000000\;kg/cm^{2}}}\cdot 1500\;m\right)}
= 1540000 k g / m 2 = 154 k g / c m 2 {\displaystyle \;=\;1540000\;kg/m^{2}\;=\;154\;kg/cm^{2}} (pressão manométrica)