Mecânica dos fluidos/Equações básicas da estática dos fluidos

Fluidos estáticos

Um fluido pode ser considerado estático quando não está sujeito a nenhuma força de cisalhamento; isso acontece em duas situações:

• quando o fluido está parado
• quando o fluido está em movimento mas seu comportamento pode ser aproximado pelo de um corpo rígido

Nesse caso, as únicas forças a serem consideradas são a pressão externa P aplicada e o peso do próprio líquido. A análise usa geralmente o enfoque Lagrangeano. Os eixos coordenados são escolhidos de modo que o fluido esteja estacionário em relação a eles, e o eixo Z seja vertical e orientado para cima. Deformações nos elementos de volume podem ser desprezadas.

A equação básica da estática dos fluidos é a lei de Stevin

${\frac {dp}{dz}}\;=\;-\rho g$

Ela deve ser integrada e condições de contorno aplicadas de forma a obter-se o campo de pressões no fluido. Por convenção, a pressão $p$ é positiva quando orientada na direção do elemento de volume (ou seja, representando uma força de compressão).

Fluidos incompressíveis

Em um fluido incompressível, $\rho$ é constante. Considerando a gravidade constante, a integração da equação resulta em

$p\;=\;p_{0}\;+\;\rho g(z_{0}\;-\;z)$

$p\;=\;p_{0}\;+\;\rho g(z_{0}\;-\;z)$

onde $p_{0}$ é a pressão em $z\;=\;z_{0}$.

Líquidos

Nas aplicações práticas, quando se trata de um líquido, fazem-se três escolhas de forma a simplificar os cálculos:

• $z_{0}$ fica localizado num ponto que esteja à pressão atmosférica
• inverte-se o sentido do eixo Z, de maneira a apontar para baixo
• trabalha-se com pressões manométricas, em lugar de pressões absolutas

Dessa forma, para evitar confusões, a variável z é substituída pela variável h. A expressão básica se torna então:

$p\;=\;\rho gh$

Em problemas envolvendo circuitos de tubulações, com trechos de profundidade h_i preenchidos por líquidos diversos de densidade $\rho _{i}$, a pressão pode ser calculada através da equação

$p\;=\;g\Sigma \rho _{i}h_{i}$

Fluidos compressíveis

Para esse tipo de fluido, $\rho$ não pode ser considerado constante. Antes de integrar a a equação básica é preciso, portanto, expressar como a densidade varia. Para os gases, um dos meios usado é a equação de estado, geralmente a equação de estado do gás ideal

$\rho \;=\;{\frac {p}{RT}}$

O uso de equaçãoes de estado requer a introdução de uma nova variável no problema, geralmente a temperatura. Ou seja, é preciso expressar T em função de outra variável (pressão, profundidade, altitude, etc.)

Atmosfera

No caso especial de problemas que envolvem a atmosfera terrestre, quatro enfoques diferentes são comumente usados:

• considerar a densidade constante $(\rho \;=\;\rho _{0}\;=\;{\frac {p_{0}}{RT_{0}}})$

Então

${\frac {dp}{dz}}\;=\;-\rho g\;=\;-\rho _{0}g$

$dp\;=\;-\rho _{0}g\cdot dz$

$p\;-\;p_{0}\;=\;-\rho _{0}g(z\;-\;z_{0})$

$p\;=\;p_{0}-\rho _{0}g(z\;-\;z_{0})$

$p\;=\;p_{0}-{\frac {p_{0}}{RT_{0}}}g(z\;-\;z_{0})$

$p\;=\;p_{0}\left[1-{\frac {g(z\;-\;z_{0})}{RT_{0}}}\right]$

A temperatura é dada então por

$T\;=\;{\frac {p}{\rho _{0}R}}\;=\;{\frac {p_{0}\left[1-{\frac {g(z\;-\;z_{0})}{RT_{0}}}\right]}{{\frac {p_{0}}{RT_{0}}}R}}$

$T\;=\;T_{0}-{\frac {g(z\;-\;z_{0})}{R}}$

• considerar a temperatura constante $(T\;=\;T_{0})$

Então

${\frac {dp}{dz}}\;=\;-\rho g\;=\;-{\frac {p}{RT}}g$

${\frac {dp}{p}}\;=\;-{\frac {g}{RT_{0}}}dz$

$p\;=\;p_{0}\cdot e^{\left[-{\frac {g(z\;-\;z_{0})}{RT_{0}}}\right]}$

• considerar a temperatura variando linearmente com a altitude $(T\;=\;T_{0}\;-\;m(z\;-\;z_{0}))$

Então

${\frac {dp}{dz}}\;=\;-\rho g\;=\;-{\frac {p}{RT}}g\;=\;-{\frac {pg}{R(T_{0}\;-\;m(z\;-\;z_{0}))}}$

${\frac {dp}{p}}\;=\;-{\frac {g}{mR}}\cdot {\frac {dz}{({\frac {T_{0}}{m}}\;+\;z_{0})\;-\;z}}$

$\ln p\;-\;\ln p_{0}\;=\;{\frac {g}{mR}}\cdot \left[\ln \left({\frac {T_{0}}{m}}\;+\;z_{0}\;-\;z\right)-\ln \left({\frac {T_{0}}{m}}\;+\;z_{0}\;-\;z_{0}\right)\right]$

${\frac {p}{p_{0}}}\;=\;\left({\frac {{\frac {T_{0}}{m}}\;+\;z_{0}\;-\;z}{\frac {T_{0}}{m}}}\right)^{\frac {g}{mR}}$

$p\;=\;p_{0}\left({\frac {T_{0}\;-\;m(z\;-\;z_{0})}{T_{0}}}\right)^{\frac {g}{mR}}$

$p\;=\;p_{0}\left({\frac {T}{T_{0}}}\right)^{\frac {g}{mR}}$

Observe-se que, quando $m\;=\;{\frac {g}{R}}$, cairemos no caso da densidade constante, analisado anteriormente.

• considerar a atmosfera um sistema adiabático $(\delta q\;=\;\Delta S\;=\;0)$

Essa hipótese é razoável, uma vez que o ar é um mau condutor de calor. Assim, quando um elemento de volume sofre convecção, movendo-se para cima, expandindo-se, resfriando-se, movendo-se para baixo, contraindo-se, aquecendo-se e movendo-se para cima novamente, ele permanece o tempo todo em equilíbrio termodinâmico. O processo é, então, reversível, e pode-se aplicar a relação termodinâmica da dilatação adiabática do gás ideal

$pV^{\gamma }\;=\;constante\Rightarrow \;\;\;p\rho ^{-\gamma }\;=\;k\Rightarrow \;\;\;\rho \;=\;({\frac {p}{k}})^{\frac {1}{\gamma }}$

Assim:

$p\;=\;\rho RT\;=\;({\frac {p}{k}})^{\frac {1}{\gamma }}RT$

$p^{\frac {\gamma \;-\;1}{\gamma }}\;=\;k^{-{\frac {1}{\gamma }}}RT$

${\frac {p^{\frac {\gamma \;-\;1}{\gamma }}}{p_{0}^{\frac {\gamma \;-\;1}{\gamma }}}}\;=\;{\frac {k^{-{\frac {1}{\gamma }}}RT}{k^{-{\frac {1}{\gamma }}}RT_{0}}}$

$({\frac {p}{p_{0}}})^{\frac {\gamma \;-\;1}{\gamma }}\;=\;{\frac {T}{T_{0}}}$

$p\;=\;p_{0}\cdot ({\frac {T}{T_{0}}})^{\frac {\gamma }{\gamma \;-\;1}}$

Exercícios resolvidos

• B1