Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/B3

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Enunciado

Derivar a fórmula para a altura da linha d'água h_a de um navio parcialmente submerso em um fluido de densidade ρ, em função do seu peso w e da geometria do casco. Aproximar este por um prisma triangular regular reto de comprimento l_p e altura h_p, terminado nas duas extremidades por um tetraedro regular.

Solução

O peso do navio deve ser equilibrado pelo empuxo, que por sua vez é dado por

$w\;=\;\rho gV_{c}\;\;\;\Rightarrow V_{c}\;=\;{\frac {w}{\rho g}}$

onde V_c é o volume de carena. Precisamos expressá-lo em função da distância da linha d'água até o fundo do casco h_a:

$V_{c}\;=\;V_{c1}\;+\;2\cdot V_{c2}$

onde V_c1 é o volume submerso do prisma e V_c2, o volume submerso de cada tetraedro. A parte submersa do prisma é um prisma de altura h_a; assim:

$V_{c1}\;=\;{\frac {1}{2}}\cdot l_{p}\cdot h_{a}\cdot {\frac {2}{\sqrt {3}}}h_{a}\;=\;{\frac {l_{p}\;h_{a}^{2}}{\sqrt {3}}}$

O volume submerso de cada tetraedro é um tetraedro de lado l_t; assim:

$V_{c2}\;=\;{\frac {\sqrt {2}}{12}}\cdot l_{t}^{3}$

Mas

$h_{a}\;=\;{\frac {\sqrt {6}}{3}}\cdot l_{t}\;\;\;\Rightarrow l_{t}\;=\;{\frac {3h_{a}}{\sqrt {6}}}$

Assim

$V_{c2}\;=\;{\frac {\sqrt {2}}{12}}\cdot \left({\frac {3h_{a}}{\sqrt {6}}}\right)^{3}\;=\;{\frac {3h_{a}^{3}}{8{\sqrt {3}}}}$

Portanto

${\frac {w}{\rho g}}\;=\;{\frac {l_{p}\;h_{a}^{2}}{\sqrt {3}}}\;+\;2\cdot {\frac {3h_{a}^{3}}{8{\sqrt {3}}}}\;=\;{\frac {1}{\sqrt {3}}}\;\left(l_{p}\;h_{a}^{2}\;+\;{\frac {3h_{a}^{3}}{4}}\right)$

Deve-se resolver a equação acima para encontrar o valor de h_a. Se esse valor for superior a h_p, o navio não poderá flutuar.