Mecânica dos fluidos/Empuxo sobre corpos submersos

Pressões sobre um corpo submerso em um fluido incompressível

Forças que atuam sobre um corpo parcialmente submerso em um fluido.

Na seção anterior, apresentou-se um método genérico para cálculo das pressões a que uma placa fica sujeita quando submersa em um fluido. Como a espessura da placa é desprezível, o cálculo das pressões em ambas as faces dará os mesmos resultados, apenas com os vetores tendo seus sentidos invertidos. O efeito dessas pressões sobre o corpo, portanto, é nulo.

No caso de um corpo de espessura não desprezível, isso não acontece. Para calcular as pressões sobre ele, é preciso, como foi discutido anteriormente, dividir a superfície em n partes, calcular os parâmetros para cada uma delas e somar os vetores resultantes. No caso da forças horizontais F_H e F_y, que são, como já se viu, o produto da pressão no centro geométrico pela projeção da superfície na vertical, é fácil ver que o resultado total é nulo.

$F_{H}\;=\;\sum p_{c}A_{V}\;=\;0$

No caso das forças verticais F_V, é suficiente dividirmos a superfície total em duas partes, inferior (S_i) e superior (S_s). Sabemos que a força sobre cada superfície é igual ao peso do líquido acima da mesma

$F_{V}\;=\;\rho gV_{s}\;-\;\rho gV_{i}\;=\;\rho g(V_{s}\;-\;V_{i})\;=\;-\rho gV_{c}$

onde V_c é o volume do corpo. A força é negativa porque está direcionada para cima. Essa força, como vimos na Introdução, é chamada de empuxo. Se a magnitude dessa força for superior ao peso do corpo, ele boiará no fluido, se deixado livre.

As coordenadas de aplicação da força F_V são as do centro de massa do volume de fluido deslocado pelo corpo. As coordenadas de aplicação do peso são as do centro de massa do corpo. Se esses dois centros não coincidirem (como acontece, por exemplo, no caso de o corpo e/ou o fluido não serem homogêneos), o corpo sofrerá um torque.

O raciocínio simplificado só se aplica para corpos totalmente submersos. Se uma parte do corpo estiver acima da superfície do fluido, só haverá empuxo devido à parte submersa; se uma ou mais partes da superfície do corpo não estiverem em contato com o fluido (como é o caso, por exemplo, de um corpo pousado sobre o fundo de um recipiente), apenas as forças sobre as partes que estiverem em contato com o fluido deverão ser consideradas.

Equilíbrio de corpos submersos

Um corpo submerso ou parcialmente submerso está sujeito a forças contrárias no sentido vertical: empuxo e peso. Em geral, essas forças não estão aplicadas no mesmo ponto: o peso é aplicado no centro de massa do objeto, e o empuxo, no centro de gravidade da massa de água deslocada. Colocam-se, assim, os problemas do equilíbrio do corpo, tanto com relação à vertical (estabilidade vertical) quanto com relação à direção axial (estabilidade rotacional ou estabilidade transversal).

Na nomenclatura usual, o corpo sob estudo é chamado de corpo flutuante ou flutuador. A linha que separa a parte do corpo que está emersa da que está submersa é chamada de linha de flutuação ou linha d'água. Essa linha é a interseção da superfície externa do corpo com a superfície livre do fluido. O plano onde repousa esta última superfície é chamado de plano de flutuação. A área do plano de flutuação circunscrita pela linha de flutuação é chamada de seção de flutuação. O volume da parte do corpo que está submersa é chamada de volume de carena.

Estabilidade vertical

Em um corpo parcialmente submerso, essas forças sempre se igualam, e o corpo permanece em equilíbrio estável. Um aumento no peso do corpo faria com que ele afundasse um pouco mais, de forma a aumentar o valor do empuxo até que este igualasse o valor do peso.

Em um corpo submerso, se o peso é maior que o empuxo, o corpo não atinge o equilíbrio, e o corpo afunda indefinidamente. Se o empuxo é maior que o peso, o corpo emerge à superfície, tornando-se apenas parcialmente submerso. Se o empuxo e o peso são iguais, o corpo permanece em equilíbrio indiferente.

Estabilidade rotacional

Corpo submerso

Em um corpo homogêneo submerso em um fluido homogêneo, os centros de gravidade do objeto e do fluido deslocado (chamado de centro de carena) coincidem. Nesse caso, peso e empuxo são aplicados no mesmo ponto, e o objeto encontra-se sempre em equilíbrio indiferente com referência à rotação. Em vários casos de interesse, no entanto, o corpo não é homogêneo. A posição do centro de gravidade e do centro de carena passam, então, a depender da geometria do objeto.

Na posição de equilíbrio, os centros de gravidade e de carena estão alinhados com relação à vertical. Quando o centro de gravidade fica abaixo do centro de carena, como na figura abaixo, o equilíbrio é estável: quando o corpo gira num sentido, os centros de gravidade e de carena deixam de se alinhar, e aparece um torque que tende a restaurar esse alinhamento. Quando o centro de gravidade fica acima do centro de carena, o torque resultante tende a afastar ainda mais o objeto da posição original; o equilíbrio é, assim, instável.

Corpo submerso em fluido homogêneo: centro de gravidade (G) e centro de carena (B).

Corpo parcialmente submerso

Em um corpo parcialmente submerso, o centro de gravidade está sempre acima do centro de carena. Quando ele gira num sentido, como mostra a figura à direita, o centro de carena se desloca. O ponto de interseção da linha vertical que passa pelo novo centro de carena e do eixo de simetria vertical do objeto, onde está o seu centro de gravidade, é chamado de metacentro. A distância entre o centro de gravidade e o metacentro (a distância GM nas figuras) é chamada de altura metacêntrica.

Corpo parcialmente submerso em fluido homogêneo: centro de gravidade (G), centro de carena (C), peso (D) e empuxo (E).

Corpo tombado: centro de gravidade (G), centro de carena (C₁) e metacentro (M).

O torque que corrige a posição do corpo após um desvio deve-se às ações combinadas do empuxo e da força de gravidade. Quando o corpo é um barco, busca-se distribuir as cargas de forma a mantê-lo equilibrado horizontalmente. Com isso, o centro de massa coincide com o centro geométrico, e o torque devido à ação da gravidade é sempre nulo. O toque devido ao empuxo, por sua vez, é dado pelo produto do empuxo e do braço de alavanca onde ele atua. O valor do empuxo é, evidentemente, igual ao peso do corpo; o braço de alavanca é a distância GZ na figura acima. Assim, podemos escrever

$\Omega _{e}\;=\;F_{e}\cdot {\overline {GZ}}\;=\;(mg)\cdot h_{m}\sin \phi$

onde m é a massa do barco e h_m é a altura metacêntrica.

O metacentro se desloca à medida que o corpo é girado, acompanhando o deslocamento do centro de carena, como mostra a figura abaixo. Enquanto o metacentro estiver acima do centro de gravidade, h_m > 0, e o equlíbrio transversal é estável, pois o torque devido ao empuxo possui um valor positivo. Para pequenos desvios da vertical, o deslocamento do metacentro pode ser desprezado.

As posições do centro de carena (Bn) e do metacentro (Mn) mudam à medida que o corpo é tombado.

A posição original do metacentro pode ser calculada a partir da posição do centro de carena. A partir das figuras, podemos escrever

${\overline {KM}}\;=\;{\overline {KB}}\;+\;{\overline {BM}}$

Evidentemente, ao estudar a estabilidade de um corpo, é preciso levar em conta todas as dimensões espaciais. Assim, ao todo são 6 as condições de equilíbrio a examinar, conforme mostra a figura abaixo.

Condições de equilíbrio de um barco nas 3 dimensões espaciais.

Exercícios resolvidos

• B3
• B4
• B5
• B6
• B7
• B8