Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/C1

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Enunciado

Um tanque, cujo volume é igual a 0.05 m³, contem ar inicialmente à pressão de 800k Pa (absoluta) e temperatura de 15 °C. Uma válvula, cuja abertura é de 65 mm², é aberta e o ar começa a escapar a uma velocidade de 300m/s e uma densidade de 6 kg/m³. Calcular a taxa de variação da densidade no interior do tanque em t = 0.

Dados do problema

V	0.05 m3
pi	800k Pa
Ti	15 °C
Asai	65 mm2
ρsai	6 kg/m3
vsai	300 m/s

A calcular: ${\frac {d\rho }{dt}}$ em t = 0

Solução

Uma vez que o ar escapa do tanque, este não pode ser considerado como um sistema. Escolhamos o tanque como o volume de controle C a ser considerado e apliquemos a equação de continuidade na sua forma integral:

${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho dV\;+\;\int _{S}\rho {\vec {v}}\cdot d{\vec {S}}\;=\;0$

${\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \int _{C}dV\right]\;+\;\rho _{sai}\int _{S}vdA\;=\;0$

uma vez que assumimos que a densidade é uniforme dentro do corpo C e também na válvula de saída. Como a velocidade também é uniforme na saída,

${\frac {\partial }{\partial t}}\rho V\;+\;\rho _{sai}v_{sai}A_{sai}\;=\;0$

O produto ρ_sai x v_sai x A_sai é positivo, pois é direcionado para fora do volume de controle. Assim,

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;=\;-{\frac {\rho _{sai}v_{sai}A_{sai}}{V}}$

pois o volume V é constante. Portanto,

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;=\;-{\frac {6\;kg/m^{3}\cdot 300\;m/s\cdot 65mm^{2}}{0.05\;m^{3}}}\;=\;-{\frac {6\;kg/m^{3}\cdot 300\;m/s\cdot 0.000065m^{2}}{0.05\;m^{3}}}$

$\;=\;-2.34\;kg/m^{3}.s$