Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/C2

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Enunciado

Uma torneira redutora em L tem área de 0.01 m² na entrada e 0.0025 m² na saída. A pressão da água na entrada é de 220k Pa (absoluta) e a velocidade na saída é de 16 m/s. A saída de água é livre, ou seja, a torneira descarrega na atmosfera. Determine as forças que atuam sobre a torneira, considerando que seu volume é de 250 cm³ e seu peso, 400 g.

Dados do problema

Aentra	0.01 m2
Asai	0.0025 m2
pentra	220k Pa
psai	1 atm
vsai	16 m/s
mt	400 g
Vt	250 cm3
Ft	a calcular

ρ = 1000 kg/m³

1 atm = 100k Pa

Solução

Escolhamos o interior da torneira como o volume de controle C a ser considerado. Escolhamos ainda o sistema de coordenadas com o eixo X na direção horizontal do fluxo e o eixo Y na direção vertical, e apliquemos a equação de continuidade e a equação de conservação do momento linear na sua forma integral:

equação de continuidade

${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho dV\;+\;\int _{S}\rho {\vec {v}}\cdot d{\vec {S}}\;=\;0$

Como o fluido é incompressível, ρ é uma constante

$0\;+\;\rho (v_{sai}A_{sai}\;-\;v_{entra}A_{entra})\;=\;0\Rightarrow \;\;\;v_{sai}A_{sai}\;=\;v_{entra}A_{entra}\Rightarrow \;\;\;v_{entra}\;=\;{\frac {v_{sai}A_{sai}}{A_{entra}}}$

equação de conservação do momento linear

${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho {\vec {v}}dV\;+\;\int _{S}\rho {\vec {v}}({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})\;=\;{\vec {F}}_{fluxo}$

Como ρ e v são constantes dentro da torneira e só existe fluxo nas superfícies de entrada e de saída,

$0\;+\;\rho \left(\int _{Aentra}{\vec {v}}({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})\;+\;\int _{Asai}{\vec {v}}({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})\right)\;=\;{\vec {F}}_{fluxo}$

$\rho \left(-v_{entra}^{2}A_{entra}{\vec {u}}_{x}\;-\;v_{sai}^{2}A_{sai}{\vec {u}}_{y}\right)\;=\;{\vec {F}}_{fluxo}$

$\rho \left(-\left({\frac {v_{sai}A_{sai}}{A_{entra}}}\right)^{2}A_{entra}{\vec {u}}_{x}\;-\;v_{sai}^{2}A_{sai}{\vec {u}}_{y}\right)\;=\;{\vec {F}}_{fluxo}$

$\rho \left(-{\frac {v_{sai}^{2}A_{sai}^{2}}{A_{entra}}}{\vec {u}}_{x}\;-\;v_{sai}^{2}A_{sai}{\vec {u}}_{y}\right)\;=\;{\vec {F}}_{fluxo}$

A força F_fluxo cancela o momento que o fluxo possui no sentido horizontal e adiciona momento na direção vertical negativa (ou seja, para baixo). Ela, no entanto, é a força que a torneira exerce sobre o fluxo. A força exercida pelo fluxo sobre a torneira será, evidentemente, igual e de sentido contrário. É preciso ainda considerar o peso da água e da torneira e as forças hidrostáticas.

peso da água e da torneira

${\vec {F}}_{w}\;=\;-\;w_{t}\;{\vec {u}}_{y}\;-\;w_{agua}{\vec {u}}_{y}\;=\;-\;m_{t}g\;{\vec {u}}_{y}\;-\;\rho V_{t}g\;{\vec {u}}_{y}$

forças hidrostáticas

${\vec {F}}_{h}\;=\;p_{entra}A_{entra}\;{\vec {u}}_{x}\;+\;p_{sai}A_{sai}\;{\vec {u}}_{y}$

considerando que as pressões consideradas são manométricas. Assim, as forças sobre a torneira podem ser escritas

${\vec {F}}_{t}\;=\;-\;{\vec {F}}_{fluxo}\;+\;{\vec {F}}_{w}\;+\;{\vec {F}}_{h}$

$\;=\;\rho \left({\frac {v_{sai}^{2}A_{sai}^{2}}{A_{entra}}}{\vec {u}}_{x}\;+\;v_{sai}^{2}A_{sai}{\vec {u}}_{y}\right)\;-\;m_{t}g\;{\vec {u}}_{y}\;-\;\rho V_{t}g\;{\vec {u}}_{y}\;+\;p_{entra}A_{entra}\;{\vec {u}}_{x}\;+\;p_{sai}A_{sai}\;{\vec {u}}_{y}$

$\;=\;\left(\rho {\frac {v_{sai}^{2}A_{sai}^{2}}{A_{entra}}}\;+\;p_{entra}A_{entra}\right)\;{\vec {u}}_{x}\;+\;$

$\;+\;\left(\rho v_{sai}^{2}A_{sai}\;-\;m_{t}g\;-\;\rho V_{t}g\;+\;p_{sai}A_{sai}\right)\;{\vec {u}}_{y}$

$\;=\;\left(1000\;kg/m^{3}\cdot {\frac {(16\;m/s)^{2}\cdot (0.0025\;m^{2})^{2}}{0.01\;m^{2}}}\;+\;(220000\;-\;100000)\;Pa\cdot 0.01\;m^{2}\right)\;{\vec {u}}_{x}\;+\;$

$\;+\;\left(1000\;kg/m^{3}\cdot (16\;m/s)^{2}\cdot 0.0025\;m^{2}\;\;-\;0.4\;kg\cdot 9.8\;m/s^{2}\;-\;1000\;kg/m^{3}\cdot 0.00025\;m^{3}\cdot 9.8\;m/s^{2}\;+\;0\right)\;{\vec {u}}_{y}$

$\;=\;\left(1360\;{\vec {u}}_{x}\;\;+\;612\;{\vec {u}}_{y}\right)\;N$