Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/C8

Enunciado

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A velocidade de um fluido incompressível em um canal que se estreita continuamente é dada pela equação


 


Calcular a aceleração de uma partícula qualquer no fluxo. Calcular também a trajetória da partícula localizada no ponto (0,0,0) no instante t = 0.

Solução

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Aqui é preciso usar a forma diferencial das equações. A partir da velocidade, podemos encontrar a aceleração calculando a derivada direcional de v na direção do eixo X:


 


 


Para encontrar uma expressão para a posição da partícula citada, que denotaremos por P, é preciso integrar a equação que determina a velocidade. Como só existe movimento com relação ao eixo X,


 


 


 


 


 


e, evidentemente, y = 0 e z = 0 para todo t.

A aceleração poderia ser calculada também derivando-se a função de posição


 


 


 


que expressa a aceleração como uma função de t, não de x. É possível provar que as expressões são equivalentes substituindo-se x na primeira equação:


 


Essas duas formas de obtenção da aceleração ilustram, respectivamente, o modelo de descrição Euleriano e o modelo de descrição Lagrangeano do movimento.