Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/E4

Enunciado

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Deduzir o perfil de velocidades para escoamento laminar de um líquido Newtoniano em um tubo cilíndrico horizontal de diâmetro D.

Solução

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Aqui, não podemos modelar as paredes do tubo como duas placas paralelas, e será preciso empregar as equações em coordenadas cilíndricas.


 


 


 


 


 


 


 


Por simetria, para qualquer propriedade η,  . O movimento é unidimensional, portanto  . Em regime estacionário,  . Assim, as equações se tornam


 


 


 


 


 


As três primeiras equações nos trazem informação trivial: o fluxo deve ser constante ao longo do eixo Z (horizontal) e a distribuição de pressões ao longo de cada seção circular é hidrostática. Integrando a última equação, teremos


 


 


mas k2 deve ser nulo, caso contrário a velocidade seria infinita em r = 0 (centro do tubo). Assim,


 


Como vz(R) = 0, temos


 


Assim


 


Finalmente, é bom lembrar que, para saber se o escoamento é laminar, é preciso examinar o número de Reynolds, que aqui tem a forma:


 


Por isso, é importante determinar a velocidade média. Para isso, calcula-se primeiro a vazão na seção circular A


 


 


 


 


Os valores negativos de vazão e velocidade média devem-se ao fato de o fluxo ocorrer do ponto de maior pressão para o ponto de menor pressão (Δp < 0).