Mecânica dos fluidos/Fluxo laminar do líquido Newtoniano

Quando o fluido não pode ser aproximado pelo modelo do fluido ideal, e sim pelo modelo do líquido Newtoniano, devem ser usadas as as equações de Navier-Stokes. Em algumas situações onde a geometria do problema é simples e o fluxo é laminar, existe uma solução analítica para essas equações. O fluxo laminar é caracterizado pela sua espessura h₀.

Fluxo plenamente desenvolvido entre duas placas planas

A configuração geométrica mais simples possível de um escoamento ocorre quando o líquido flui entre duas placas paralelas infinitas. Por exemplo, em muitas situações práticas, óleo lubrificante flui por um intervalo entre um cilindro e um pistão; como o intervalo de escoamento é muito pequeno, com relação às demais dimensões, o problema pode ser modelado como um fluxo entre duas placas planas infinitas. Nesses casos, h₀ é a espessura do intervalo. A escolha natural é o eixo X na direção do fluxo e o eixo Z na vertical. Como sabemos, a velocidade é nula nas paredes. Assim,

$v_{x}(0)\;=\;v_{x}(h_{0})\;=\;0$

Além disso, como o escoamento está plenamente desenvolvido,

${\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;=\;0$

e, por simetria,

${\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\;=\;0$

$v_{y}\;=\;v_{z}\;=\;0$

Além disso, o escoamento está em regime estacionário, ou seja, nenhuma propriedade varia no tempo

${\frac {\partial \eta }{\partial t}}\;=\;0$

A equação da continuidade, nessas condições, se torna

$\nabla \cdot {\vec {v}}\;=\;0\Rightarrow \;\;\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\;=\;0\Rightarrow \;\;\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;0\;+\;0\;=\;0$

A equação de Navier-Stokes referente ao eixo X simplifica-se para

$-\;{\frac {\partial p}{\partial x}}\;+\;\mu _{0}\left({\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial x^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial y^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial z^{2}}}\right)\;+\;\rho _{0}g_{x}\;=\;\rho _{0}\left(v_{x}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;v_{y}{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\;+\;v_{z}{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\;+\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}\right)$

$-\;{\frac {\partial p}{\partial x}}\;+\;\mu _{0}\left(0\;+\;0\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial z^{2}}}\right)\;+\;0\;=\;\rho _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\;+\;0\right)$

$\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial z^{2}}}\;=\;{\frac {\partial p}{\partial x}}$

Na igualdade acima, o lado esquerdo é uma função de z, somente, e o lado direito, uma função somente de x. Para que isso seja verdadeiro para todo x e z, é preciso que ambos sejam iguais a uma constante. Assim

$\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial z^{2}}}\;=\;k_{1}\;\;\;\Rightarrow \mu _{0}{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\;=\;k_{1}z\;+\;k_{2}\;\;\;\Rightarrow \mu _{0}v_{x}\;=\;{\frac {k_{1}}{2}}z^{2}\;+\;k_{2}z\;+\;k_{3}$

$v_{x}(0)\;=\;0\;\;\;\Rightarrow k_{3}\;=\;0$

$v_{x}(h_{0})\;=\;0\;\;\;\Rightarrow {\frac {k_{1}}{2}}h_{0}^{2}\;+\;k_{2}h_{0}\;=\;0\;\;\;\Rightarrow k_{2}\;=\;-\;{\frac {k_{1}h_{0}}{2}}$

Assim

$v_{x}\;=\;{\frac {1}{2\mu _{0}}}\;{\frac {\partial p}{\partial x}}\;(z^{2}\;-\;h_{0}z)$

As equações para os demais eixos simplificam-se da seguinte forma:

$\;-\;\;{\frac {\partial p}{\partial z}}\;+\;\mu _{0}\left({\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial x^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial y^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial z^{2}}}\right)\;+\;\rho _{0}g_{z}\;=\;\rho _{0}\left(v_{x}{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\;+\;v_{y}{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\;+\;v_{z}{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\;+\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}\right)$

$\;-\;\;{\frac {\partial p}{\partial z}}\;+\;\mu _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\right)\;+\;0\;=\;\rho _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\;+\;0\right)$

${\frac {\partial p}{\partial z}}\;=\;\rho _{0}g\;\;\;\Rightarrow p=\rho gz\;+\;k_{4}$

$-\;{\frac {\partial p}{\partial y}}\;+\;\mu _{0}\left({\frac {\partial ^{2}v_{y}}{\partial x^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{y}}{\partial y^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{y}}{\partial z^{2}}}\right)\;=\;\rho _{0}\left(v_{y}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;v_{y}{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\;+\;v_{z}{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}\;+\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}\right)$

$0\;+\;\mu _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\right)\;=\;\rho _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\;+\;0\right)$

As equações de Navier-Stokes, uma vez resolvidas, nos informam que:

1. a pressão varia de forma hidrostática no sentido do eixo Z;
2. a pressão varia de forma contínua no sentido do eixo X;
3. o perfil de velocidades ao longo do eixo Z assume a forma de uma parábola;

A variação da pressão ao longo do eixo X se dá porque a viscosidade do fluido provoca uma perda de carga devido ao atrito com as paredes. Curiosamente, a variação da velocidade ao longo desse eixo não faz com que a pressão varie de forma similar; a variação de pressão nesse sentido deve-se apenas ao efeito da gravidade. É a variação da velocidade ao longo do eixo Z que está relacionada com a variação da pressão ao longo do eixo X.

Uma vez obtidas as velocidades, podemos calcular as tensões a partir das relações

$\tau _{xy}\;=\;\mu _{0}{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}\;=\;0$

$\tau _{xz}\;=\;\mu _{0}{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\;=\;0$

$\tau _{yx}\;=\;\mu _{0}{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\;=\;0$

$\tau _{yz}\;=\;\mu _{0}{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\;=\;0$

$\tau _{zx}\;=\;\mu _{0}{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\;=\;\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {1}{2\mu _{0}}}\;{\frac {\partial p}{\partial x}}(z^{2}\;-\;h_{0}z)\right)\;=\;{\frac {1}{2}}\;{\frac {\partial p}{\partial x}}\;(2z\;-\;h_{0})$

$\tau _{zy}\;=\;\mu _{0}{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}\;=\;0$

As equações acima mostram que só estão presentes tensões no sentido do eixo X, devidas à pressão exercida no eixo Z. A tensão é nula no centro do fluxo, onde $z\;=\;{\frac {h_{0}}{2}}$. Nesse ponto, a velocidade é máxima

$v_{x}\left({\frac {h_{0}}{2}}\right)\;=\;{\frac {1}{2\mu _{0}}}\;{\frac {\partial p}{\partial x}}\;\left(\left({\frac {h_{0}}{2}}\right)^{2}\;-\;h_{0}\;{\frac {h_{0}}{2}}\right)\;=\;{\frac {h_{0}^{2}}{8\mu _{0}}}\;{\frac {\partial p}{\partial x}}$

A velocidade é positiva, porque ${\frac {\partial p}{\partial x}}$ é negativa (a pressão vai diminuindo no sentido do fluxo).

A vazão é dada por

$\Phi \;=\;\int _{A}v_{x}\;dA\;=\;\int _{A}v_{x}\;dz\;dy\;=\;W\int _{0}^{h_{0}}v_{x}\;dz$

onde W é a largura das placas. Assim,

$\Phi \;=\;W\int _{0}^{h_{0}}{\frac {1}{2\mu _{0}}}\;{\frac {\partial p}{\partial x}}(z^{2}\;-\;h_{0}z)\;dz\;=\;{\frac {W}{2\mu _{0}}}\;{\frac {\partial p}{\partial x}}\;\left.\left({\frac {z^{3}}{3}}\;-\;{\frac {h_{0}z^{2}}{2}}\right)\right|_{0}^{h_{0}}$

$\Phi \;=\;{\frac {W}{2\mu _{0}}}\;{\frac {\partial p}{\partial x}}\;\left({\frac {h_{0}^{3}}{3}}\;-\;{\frac {h_{0}^{3}}{2}}\right)\;=\;-\;{\frac {W\;h_{0}^{3}}{12\mu _{0}}}\;{\frac {\partial p}{\partial x}}$

A vazão é positiva, porque ${\frac {\partial p}{\partial x}}$ é negativa. A velocidade média será

${\bar {v}}_{x}\;=\;{\frac {\Phi }{A}}\;=\;{\frac {-\;{\frac {W\;h_{0}^{3}}{12\mu _{0}}}\;{\frac {\partial p}{\partial x}}}{W\;h_{0}}}\;=\;-\;{\frac {h_{0}^{2}}{12\mu _{0}}}\;{\frac {\partial p}{\partial x}}$

que também é positiva. Verifica-se, assim, que a velocidade máxima é 50% superior à velocidade média.

De acordo com resultados experimentais, nesse tipo de problema, o escoamento se mantém laminar somente até valores muito limitados do número de Reynolds (tipicamente, 1400). O valor constante de ${\frac {\partial p}{\partial x}}$ pode ser obtido facilmente medindo-se a perda de carga ao longo de um trecho de comprimento L e fazendo ${\frac {\partial p}{\partial x}}\;=\;{\frac {\Delta p}{L}}$

Fluxo livre em um plano inclinado

A expressão fluxo livre significa que a única ação externa a que o fluido está sujeito é aquela devida ao seu próprio peso. A melhor escolha do eixo X é na direção do fluxo, ou seja, paralelo ao plano, com o eixo Z perpendicular a este e apontando para baixo. O eixo Y, em consequência, ficará também paralelo ao plano. Considerando-se um plano de inclinação Θ, esse peso terá componentes no eixo X e no eixo Z, mas não no eixo Y; chamemos g_x e g_z essas componentes. A hipótese de fluxo laminar implica, obviamente, em v_z = v_y = 0. Finalmente, devido à simetria, para uma propriedade η qualquer,

${\frac {\partial \eta }{\partial y}}\;=\;0$

Neste caso, a equação de continuidade nos dá

$\nabla \cdot {\vec {v}}\;=\;0\Rightarrow \;\;\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\;=\;0\Rightarrow \;\;\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;0\;+\;0\;=\;0$

A equação de Navier-Stokes referente ao eixo X, neste caso, simplifica-se para

$-\;{\frac {\partial p}{\partial x}}\;+\;\mu _{0}\left({\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial x^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial y^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial z^{2}}}\right)\;+\;\rho _{0}g_{x}\;=\;\rho _{0}\left(v_{x}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;v_{y}{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\;+\;v_{z}{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\;+\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}\right)$

$-0\;+\;\mu _{0}\left(0\;+\;0\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial z^{2}}}\right)\;+\;\rho _{0}g\sin \theta \;=\;\rho _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\;+\;0\right)\Rightarrow \;\;\;\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial z^{2}}}\;=\;-\;\rho _{0}g\sin \theta$

A variação da pressão ao longo do eixo X é nula, porque o líquido tem uma superfície livre e, portanto, à pressão atmosférica. Em outras palavras, p(x,y,0) = constante para todos os valores de x e de y.

Similarmente, para o eixo Y

$-\;{\frac {\partial p}{\partial y}}\;+\;\mu _{0}\left({\frac {\partial ^{2}v_{y}}{\partial x^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{y}}{\partial y^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{y}}{\partial z^{2}}}\right)\;=\;\rho _{0}\left(v_{y}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;v_{y}{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\;+\;v_{z}{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}\;+\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}\right)$

$0\;+\;\mu _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\right)\;=\;\rho _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\;+\;0\right)$

E, para o eixo Z

$\;-\;\;{\frac {\partial p}{\partial z}}\;+\;\mu _{0}\left({\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial x^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial y^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial z^{2}}}\right)\;+\;\rho _{0}g_{z}\;=\;\rho _{0}\left(v_{x}{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\;+\;v_{y}{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\;+\;v_{z}{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\;+\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}\right)$

$\;-\;\;{\frac {\partial p}{\partial z}}\;+\;\mu _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\right)\;+\;\rho _{0}g\cos \theta \;=\;\rho _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\;+\;0\right)\Rightarrow \;\;\;{\frac {\partial p}{\partial z}}\;=\;\rho _{0}g\cos \theta$

Integrando a primeira equação, teremos

$\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial z^{2}}}\;=\;-\;\rho _{0}g\sin \theta \Rightarrow \;\;\;v_{x}\;=\;-\;{\frac {\rho _{0}g\sin \theta }{2\mu _{0}}}\;z^{2}\;+\;k_{1}\;z\;+\;k_{2}$

Mas não pode haver fluxo em z = 0 (adjacente ao plano), nem tensões em z = - h₀ (superfície do fluido), portanto

$v_{x}(0)\;=\;0\Rightarrow \;\;\;k_{2}\;=\;0$

${\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}(-h_{0})\;=\;0\Rightarrow \;\;\;{\frac {\rho _{0}g\sin \theta }{\mu _{0}}}\;h_{0}\;+\;k_{1}\;=\;0$

Portanto

$v_{x}\;=\;-\;{\frac {\rho _{0}g\sin \theta }{\mu _{0}}}\left({\frac {z^{2}}{2}}\;+\;h_{0}z\right)$

A equação que descreve o campo de tensões é, então, a seguinte

$\tau _{zx}\;=\;\mu _{0}{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\;=\;-\;\rho _{0}g\sin \theta \left(z\;+\;h_{0}\right)$

A tensão nos pontos ajdacentes ao plano inclinado será

$\tau _{zx}(0)\;=\;-\;\rho _{0}g\sin \theta \left(0\;+\;h_{0}\right)\;=\;-\;\rho _{0}gh_{0}\sin \theta$

o valor negativo indicando que ela aponta na direção negativa do eixo X, ou seja, é contrária ao fluxo. A vazão volumétrica será

$\Phi \;=\;\int _{Ax}v_{x}\;dz\;dy\;=\;W\int _{-h0}^{0}-{\frac {\rho _{0}g\sin \theta }{\mu _{0}}}\left({\frac {z^{2}}{2}}\;+\;h_{0}z\right)dz$

onde W é a largura do plano. Assim,

$\Phi \;=\;{\frac {\rho _{0}gW\sin \theta }{\mu _{0}}}\int _{-h0}^{0}-\left({\frac {z^{2}}{2}}\;+\;h_{0}z\right)dz\;=\;{\frac {\rho _{0}gW\sin \theta }{\mu _{0}}}\left.\left({\frac {z^{3}}{6}}\;+\;{\frac {h_{0}z^{2}}{2}}\right)\right|_{0}^{-h0}$

$\Phi \;=\;{\frac {\rho _{0}gW\sin \theta }{\mu _{0}}}\left(-\;{\frac {h_{0}^{3}}{6}}\;+\;{\frac {h_{0}^{3}}{2}}\right)\;=\;{\frac {\rho _{0}gWh_{0}^{3}\sin \theta }{3\mu _{0}}}$

Podemos calcular também a velocidade média

${\bar {v}}_{x}\;=\;{\frac {\Phi }{A_{x}}}\;=\;{\frac {\frac {\rho _{0}gWh_{0}^{3}\sin \theta }{3\mu _{0}}}{Wh_{0}}}\;=\;{\frac {\rho _{0}gh_{0}^{2}\sin \theta }{3\mu _{0}}}$

Quanto à segunda equação

${\frac {\partial p}{\partial z}}\;=\;\rho _{0}g\cos \theta$

Ela nos fornece informação a respeito do campo de pressões, informação esta que coincide com aquela derivável da análise estática.

Fluxo livre entre dois cilindros concêntricos girantes

Consideremos agora dois cilindros verticais concêntricos, com o cilindro exterior girando a uma velocidade constante ω₀ e com um fluido Newtoniano no espaço entre eles. Dessa maneira, o fluido se movimenta em relação ao cilindro exterior. Chamemos R ao raio do cilindro interior e R + h₀ ao raio do cilindro exterior. A geometria do problema pede o uso de coordenadas colindricas; para que o eixo Z aponte para baixo, a regra da mão direita exige que o ângulo Θ seja medido no sentido horário. Suponhamos que o giro do cilindro maior esteja nesse mesmo sentido, o que fará com que ω₀ seja positiva.

Como vimos anteriormente, as equações básicas em coordenadas cilíndricas são as seguintes:

${\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}\;(rv_{r})\;+\;{\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial \theta }}\;(v_{\theta })\;+\;{\frac {\partial }{\partial z}}\;(v_{z})\;=\;0$

$\rho _{0}\left({\frac {\partial v_{r}}{\partial t}}\;+\;v_{r}\;{\frac {\partial v_{r}}{\partial r}}\;+\;{\frac {v_{\theta }}{r}}\;{\frac {\partial v_{r}}{\partial \theta }}\;-\;{\frac {v_{\theta }^{2}}{r}}\;+\;v_{r}\;{\frac {\partial v_{r}}{\partial z}}\right)\;=\;$

$\;=\;\rho _{0}g_{r}\;-\;{\frac {\partial p}{\partial r}}\;+\;\mu _{0}\;\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}(rv_{r})\right)\;+\;{\frac {1}{r^{2}}}\;{\frac {\partial ^{2}v_{r}}{\partial \theta ^{2}}}\;-\;{\frac {2}{r^{2}}}\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{r}}{\partial z^{2}}}\right]$

$\rho _{0}\left({\frac {\partial v_{\theta }}{\partial t}}\;+\;v_{r}\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial r}}\;+\;{\frac {v_{\theta }}{r}}\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}\;+\;{\frac {v_{r}v_{\theta }}{r}}\;+\;v_{r}\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial z}}\right)\;=\;$

$\;=\;\rho _{0}g_{\theta }\;-\;{\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial p}{\partial \theta }}\;+\;\mu _{0}\;\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}(rv_{\theta })\right)\;+\;{\frac {1}{r^{2}}}\;{\frac {\partial ^{2}v_{\theta }}{\partial \theta ^{2}}}\;+\;{\frac {2}{r^{2}}}\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{\theta }}{\partial z^{2}}}\right]$

$\rho _{0}\left({\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}\;+\;v_{r}\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}}\;+\;{\frac {v_{\theta }}{r}}\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial \theta }}\;+\;v_{z}\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)\;=\;$

$\;=\;\rho _{0}g_{z}\;-\;{\frac {\partial p}{\partial z}}\;+\;\mu _{0}\;\left[{\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}}\right)\;+\;{\frac {1}{r^{2}}}\;{\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial \theta ^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial z^{2}}}\right]$

A geometria do problema implica em

$g_{r}\;=\;g_{\theta }\;=\;0\qquad g_{z}\;=\;g\qquad \qquad {\frac {\partial \eta }{\partial \theta }}\;=\;0$

para qualquer propriedade η. O movimento é unidimensional, portanto v_r = v_z = 0. Como v_Θ = f(r), teremos

${\frac {\partial v_{\theta }}{\partial t}}\;=\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}\;=\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial z}}\;=\;0$

Assim, as equações se simplificam para

$0\;+\;{\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial \theta }}\;(v_{\theta })\;+\;0\;=\;0$

$\rho _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\;-\;{\frac {v_{\theta }^{2}}{r}}\;+\;0\right)\;=\;0\;-\;{\frac {\partial p}{\partial r}}\;+\;\mu _{0}\;\left[0\;+\;0\;-\;0\;+\;0\right]\Rightarrow \;\;\;\rho _{0}{\frac {v_{\theta }^{2}}{r}}\;=\;{\frac {\partial p}{\partial r}}$

$\rho _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\;+\;0\;+\;0\right)\;=\;0\;-\;0\;+\;\mu _{0}\;\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}(rv_{\theta })\right)\;+\;0\;+\;0\;+\;0\right]\Rightarrow \;\;\;0\;=\;{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}(rv_{\theta })\right)$

$\rho _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\;+\;0\right)\;=\;\rho g\;-\;{\frac {\partial p}{\partial z}}\;+\;\mu _{0}\;\left[0\;+\;0\;+\;0\right]\Rightarrow \;\;\;\rho g\;=\;{\frac {\partial p}{\partial z}}$

Novamente, a última equação traz informação a respeito da variação de pressão que coincide com a proporcionada pela análise estática. A equação de continuidade nos diz simplesmente que a velocidade deve ser constante ao longo do fluxo. Resolvendo a segunda equação:

${\frac {1}{r}}\;{\frac {d}{dr}}(rv_{\theta })\;=\;k_{1}\Rightarrow \;\;\;{\frac {d}{dr}}(rv_{\theta })\;=\;k_{1}r\Rightarrow \;\;\;(rv_{\theta })\;=\;{\frac {k_{1}}{2}}r^{2}\;+\;k_{2}$

$v_{\theta }\;=\;{\frac {k_{1}}{2}}r\;+\;{\frac {k_{2}}{r}}$

No ponto adjacente ao cilindro menor (r = R), vΘ = 0, portanto

$0\;=\;{\frac {k_{1}}{2}}R\;+\;{\frac {k_{2}}{R}}\Rightarrow \;\;\;k_{2}\;=\;-\;{\frac {k_{1}}{2}}R^{2}$

No ponto adjacente ao cilindro maior (r = R + h₀), vΘ = ω₀r , portanto

$\omega _{0}\;(R\;+\;h_{0})\;=\;{\frac {k_{1}}{2}}(R\;+\;h_{0})\;+\;{\frac {k_{2}}{R\;+\;h_{0}}}\Rightarrow \;\;\;\omega _{0}\;=\;{\frac {k_{1}}{2}}\;-\;{\frac {k_{1}}{2}}R^{2}\;{\frac {1}{(R\;+\;h_{0})^{2}}}$

$k_{1}\;=\;{\frac {2\omega _{0}}{1\;-\;\left({\frac {R}{R\;+\;h_{0}}}\right)^{2}}}$

E assim

$k_{2}\;=\;-\;{\frac {k_{1}}{2}}R^{2}\;=\;-\;{\frac {\omega _{0}R^{2}}{1\;-\;\left({\frac {R}{R\;+\;h_{0}}}\right)^{2}}}$

Logo, a expressão para a velocidade vΘ é a seguinte:

$v_{\theta }\;=\;{\frac {\omega _{0}}{1\;-\;\left({\frac {R}{R\;+\;h_{0}}}\right)^{2}}}\;r\;-\;{\frac {\omega _{0}R^{2}}{1\;-\;\left({\frac {R}{R\;+\;h_{0}}}\right)^{2}}}\;{\frac {1}{r}}\;=\;{\frac {\omega _{0}}{1\;-\;\left({\frac {R}{R\;+\;h_{0}}}\right)^{2}}}\left(r-{\frac {R^{2}}{r}}\right)$

A partir dessa expressão, podemos encontrar o valor da tensão cisalhante τ_rΘ

$\tau _{r\theta }\;=\;\mu _{0}\left[r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {v_{\theta }}{r}}\right)\;+\;{\frac {1}{r}}{\frac {\partial v_{r}}{\partial \theta }}\right]\;=\;\mu _{0}\left[r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {k_{1}}{2}}\;+\;{\frac {k_{2}}{r^{2}}}\right)\;+\;0\right]$

$\tau _{r\theta }\;=\;\mu _{0}\left[r\left(-\;{\frac {2k_{2}}{r^{3}}}\right)\right]\;=\;-\;{\frac {2\mu _{0}k_{2}}{r^{2}}}\;=\;{\frac {2\mu _{0}\omega _{0}R^{2}}{1\;-\;\left({\frac {R}{R\;+\;h_{0}}}\right)^{2}}}\;{\frac {1}{r^{2}}}$

o valor positivo indicando uma tensão na direção do movimento (o cilindro externo arrasta o fluido). Sabemos que a tensão será máxima quando r = R (velocidade nula)

$\tau _{r\theta }(R)\;=\;{\frac {2\mu _{0}\omega _{0}R^{2}}{1\;-\;\left({\frac {R}{R\;+\;h_{0}}}\right)^{2}}}\;{\frac {1}{R^{2}}}\;=\;{\frac {2\mu _{0}\omega _{0}}{1\;-\;\left({\frac {R}{R\;+\;h_{0}}}\right)^{2}}}$

Exercícios resolvidos

• E1
• E2
• E3
• E4
• E6