Quando o fluido não pode ser aproximado pelo modelo do fluido ideal, e sim pelo modelo do líquido Newtoniano, devem ser usadas as as equações de Navier-Stokes. Em algumas situações onde a geometria do problema é simples e o fluxo é laminar, existe uma solução analítica para essas equações. O fluxo laminar é caracterizado pela sua espessura h0 .
Fluxo plenamente desenvolvido entre duas placas planas
editar
A configuração geométrica mais simples possível de um escoamento ocorre quando o líquido flui entre duas placas paralelas infinitas. Por exemplo, em muitas situações práticas, óleo lubrificante flui por um intervalo entre um cilindro e um pistão; como o intervalo de escoamento é muito pequeno, com relação às demais dimensões, o problema pode ser modelado como um fluxo entre duas placas planas infinitas. Nesses casos, h0 é a espessura do intervalo. A escolha natural é o eixo X na direção do fluxo e o eixo Z na vertical. Como sabemos, a velocidade é nula nas paredes. Assim,
v
x
(
0
)
=
v
x
(
h
0
)
=
0
{\displaystyle v_{x}(0)\;=\;v_{x}(h_{0})\;=\;0}
∂
v
x
∂
x
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;=\;0}
∂
v
x
∂
y
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\;=\;0}
v
y
=
v
z
=
0
{\displaystyle v_{y}\;=\;v_{z}\;=\;0}
∂
η
∂
t
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}\;=\;0}
∇
⋅
v
→
=
0
⇒
∂
v
x
∂
x
+
∂
v
y
∂
y
+
∂
v
z
∂
z
=
0
⇒
∂
v
x
∂
x
+
0
+
0
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot {\vec {v}}\;=\;0\Rightarrow \;\;\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\;=\;0\Rightarrow \;\;\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;0\;+\;0\;=\;0}
−
∂
p
∂
x
+
μ
0
(
∂
2
v
x
∂
x
2
+
∂
2
v
x
∂
y
2
+
∂
2
v
x
∂
z
2
)
+
ρ
0
g
x
=
ρ
0
(
v
x
∂
v
x
∂
x
+
v
y
∂
v
x
∂
y
+
v
z
∂
v
x
∂
z
+
∂
v
x
∂
t
)
{\displaystyle -\;{\frac {\partial p}{\partial x}}\;+\;\mu _{0}\left({\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial x^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial y^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial z^{2}}}\right)\;+\;\rho _{0}g_{x}\;=\;\rho _{0}\left(v_{x}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;v_{y}{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\;+\;v_{z}{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\;+\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}\right)}
−
∂
p
∂
x
+
μ
0
(
0
+
0
+
∂
2
v
x
∂
z
2
)
+
0
=
ρ
0
(
0
+
0
+
0
+
0
)
{\displaystyle -\;{\frac {\partial p}{\partial x}}\;+\;\mu _{0}\left(0\;+\;0\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial z^{2}}}\right)\;+\;0\;=\;\rho _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\;+\;0\right)}
μ
0
∂
2
v
x
∂
z
2
=
∂
p
∂
x
{\displaystyle \mu _{0}{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial z^{2}}}\;=\;{\frac {\partial p}{\partial x}}}
μ
0
∂
2
v
x
∂
z
2
=
k
1
⇒
μ
0
∂
v
x
∂
z
=
k
1
z
+
k
2
⇒
μ
0
v
x
=
k
1
2
z
2
+
k
2
z
+
k
3
{\displaystyle \mu _{0}{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial z^{2}}}\;=\;k_{1}\;\;\;\Rightarrow \mu _{0}{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\;=\;k_{1}z\;+\;k_{2}\;\;\;\Rightarrow \mu _{0}v_{x}\;=\;{\frac {k_{1}}{2}}z^{2}\;+\;k_{2}z\;+\;k_{3}}
v
x
(
0
)
=
0
⇒
k
3
=
0
{\displaystyle v_{x}(0)\;=\;0\;\;\;\Rightarrow k_{3}\;=\;0}
v
x
(
h
0
)
=
0
⇒
k
1
2
h
0
2
+
k
2
h
0
=
0
⇒
k
2
=
−
k
1
h
0
2
{\displaystyle v_{x}(h_{0})\;=\;0\;\;\;\Rightarrow {\frac {k_{1}}{2}}h_{0}^{2}\;+\;k_{2}h_{0}\;=\;0\;\;\;\Rightarrow k_{2}\;=\;-\;{\frac {k_{1}h_{0}}{2}}}
v
x
=
1
2
μ
0
∂
p
∂
x
(
z
2
−
h
0
z
)
{\displaystyle v_{x}\;=\;{\frac {1}{2\mu _{0}}}\;{\frac {\partial p}{\partial x}}\;(z^{2}\;-\;h_{0}z)}
−
∂
p
∂
z
+
μ
0
(
∂
2
v
z
∂
x
2
+
∂
2
v
z
∂
y
2
+
∂
2
v
z
∂
z
2
)
+
ρ
0
g
z
=
ρ
0
(
v
x
∂
v
z
∂
x
+
v
y
∂
v
z
∂
y
+
v
z
∂
v
z
∂
z
+
∂
v
z
∂
t
)
{\displaystyle \;-\;\;{\frac {\partial p}{\partial z}}\;+\;\mu _{0}\left({\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial x^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial y^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial z^{2}}}\right)\;+\;\rho _{0}g_{z}\;=\;\rho _{0}\left(v_{x}{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\;+\;v_{y}{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\;+\;v_{z}{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\;+\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}\right)}
−
∂
p
∂
z
+
μ
0
(
0
+
0
+
0
)
+
0
=
ρ
0
(
0
+
0
+
0
+
0
)
{\displaystyle \;-\;\;{\frac {\partial p}{\partial z}}\;+\;\mu _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\right)\;+\;0\;=\;\rho _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\;+\;0\right)}
∂
p
∂
z
=
ρ
0
g
⇒
p
=
ρ
g
z
+
k
4
{\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial z}}\;=\;\rho _{0}g\;\;\;\Rightarrow p=\rho gz\;+\;k_{4}}
−
∂
p
∂
y
+
μ
0
(
∂
2
v
y
∂
x
2
+
∂
2
v
y
∂
y
2
+
∂
2
v
y
∂
z
2
)
=
ρ
0
(
v
y
∂
v
x
∂
x
+
v
y
∂
v
y
∂
y
+
v
z
∂
v
y
∂
z
+
∂
v
x
∂
t
)
{\displaystyle -\;{\frac {\partial p}{\partial y}}\;+\;\mu _{0}\left({\frac {\partial ^{2}v_{y}}{\partial x^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{y}}{\partial y^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{y}}{\partial z^{2}}}\right)\;=\;\rho _{0}\left(v_{y}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;v_{y}{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\;+\;v_{z}{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}\;+\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}\right)}
0
+
μ
0
(
0
+
0
+
0
)
=
ρ
0
(
0
+
0
+
0
+
0
)
{\displaystyle 0\;+\;\mu _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\right)\;=\;\rho _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\;+\;0\right)}
a pressão varia de forma hidrostática no sentido do eixo Z;
a pressão varia de forma contínua no sentido do eixo X;
o perfil de velocidades ao longo do eixo Z assume a forma de uma parábola; A variação da pressão ao longo do eixo X se dá porque a viscosidade do fluido provoca uma perda de carga devido ao atrito com as paredes. Curiosamente, a variação da velocidade ao longo desse eixo não faz com que a pressão varie de forma similar; a variação de pressão nesse sentido deve-se apenas ao efeito da gravidade. É a variação da velocidade ao longo do eixo Z que está relacionada com a variação da pressão ao longo do eixo X.
Uma vez obtidas as velocidades, podemos calcular as tensões a partir das relações
τ
x
y
=
μ
0
∂
v
y
∂
x
=
0
{\displaystyle \tau _{xy}\;=\;\mu _{0}{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}\;=\;0}
τ
x
z
=
μ
0
∂
v
z
∂
x
=
0
{\displaystyle \tau _{xz}\;=\;\mu _{0}{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\;=\;0}
τ
y
x
=
μ
0
∂
v
x
∂
y
=
0
{\displaystyle \tau _{yx}\;=\;\mu _{0}{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\;=\;0}
τ
y
z
=
μ
0
∂
v
z
∂
y
=
0
{\displaystyle \tau _{yz}\;=\;\mu _{0}{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\;=\;0}
τ
z
x
=
μ
0
∂
v
x
∂
z
=
μ
0
∂
∂
z
(
1
2
μ
0
∂
p
∂
x
(
z
2
−
h
0
z
)
)
=
1
2
∂
p
∂
x
(
2
z
−
h
0
)
{\displaystyle \tau _{zx}\;=\;\mu _{0}{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\;=\;\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {1}{2\mu _{0}}}\;{\frac {\partial p}{\partial x}}(z^{2}\;-\;h_{0}z)\right)\;=\;{\frac {1}{2}}\;{\frac {\partial p}{\partial x}}\;(2z\;-\;h_{0})}
τ
z
y
=
μ
0
∂
v
y
∂
z
=
0
{\displaystyle \tau _{zy}\;=\;\mu _{0}{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}\;=\;0}
z
=
h
0
2
{\displaystyle z\;=\;{\frac {h_{0}}{2}}}
v
x
(
h
0
2
)
=
1
2
μ
0
∂
p
∂
x
(
(
h
0
2
)
2
−
h
0
h
0
2
)
=
h
0
2
8
μ
0
∂
p
∂
x
{\displaystyle v_{x}\left({\frac {h_{0}}{2}}\right)\;=\;{\frac {1}{2\mu _{0}}}\;{\frac {\partial p}{\partial x}}\;\left(\left({\frac {h_{0}}{2}}\right)^{2}\;-\;h_{0}\;{\frac {h_{0}}{2}}\right)\;=\;{\frac {h_{0}^{2}}{8\mu _{0}}}\;{\frac {\partial p}{\partial x}}}
∂
p
∂
x
{\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}}}
Φ
=
∫
A
v
x
d
A
=
∫
A
v
x
d
z
d
y
=
W
∫
0
h
0
v
x
d
z
{\displaystyle \Phi \;=\;\int _{A}v_{x}\;dA\;=\;\int _{A}v_{x}\;dz\;dy\;=\;W\int _{0}^{h_{0}}v_{x}\;dz}
Φ
=
W
∫
0
h
0
1
2
μ
0
∂
p
∂
x
(
z
2
−
h
0
z
)
d
z
=
W
2
μ
0
∂
p
∂
x
(
z
3
3
−
h
0
z
2
2
)
|
0
h
0
{\displaystyle \Phi \;=\;W\int _{0}^{h_{0}}{\frac {1}{2\mu _{0}}}\;{\frac {\partial p}{\partial x}}(z^{2}\;-\;h_{0}z)\;dz\;=\;{\frac {W}{2\mu _{0}}}\;{\frac {\partial p}{\partial x}}\;\left.\left({\frac {z^{3}}{3}}\;-\;{\frac {h_{0}z^{2}}{2}}\right)\right|_{0}^{h_{0}}}
Φ
=
W
2
μ
0
∂
p
∂
x
(
h
0
3
3
−
h
0
3
2
)
=
−
W
h
0
3
12
μ
0
∂
p
∂
x
{\displaystyle \Phi \;=\;{\frac {W}{2\mu _{0}}}\;{\frac {\partial p}{\partial x}}\;\left({\frac {h_{0}^{3}}{3}}\;-\;{\frac {h_{0}^{3}}{2}}\right)\;=\;-\;{\frac {W\;h_{0}^{3}}{12\mu _{0}}}\;{\frac {\partial p}{\partial x}}}
∂
p
∂
x
{\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}}}
v
¯
x
=
Φ
A
=
−
W
h
0
3
12
μ
0
∂
p
∂
x
W
h
0
=
−
h
0
2
12
μ
0
∂
p
∂
x
{\displaystyle {\bar {v}}_{x}\;=\;{\frac {\Phi }{A}}\;=\;{\frac {-\;{\frac {W\;h_{0}^{3}}{12\mu _{0}}}\;{\frac {\partial p}{\partial x}}}{W\;h_{0}}}\;=\;-\;{\frac {h_{0}^{2}}{12\mu _{0}}}\;{\frac {\partial p}{\partial x}}}
De acordo com resultados experimentais, nesse tipo de problema, o escoamento se mantém laminar somente até valores muito limitados do número de Reynolds (tipicamente, 1400). O valor constante de
∂
p
∂
x
{\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}}}
∂
p
∂
x
=
Δ
p
L
{\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}}\;=\;{\frac {\Delta p}{L}}}
Fluxo livre em um plano inclinado
editar
A expressão fluxo livre significa que a única ação externa a que o fluido está sujeito é aquela devida ao seu próprio peso. A melhor escolha do eixo X é na direção do fluxo, ou seja, paralelo ao plano, com o eixo Z perpendicular a este e apontando para baixo. O eixo Y, em consequência, ficará também paralelo ao plano. Considerando-se um plano de inclinação Θ, esse peso terá componentes no eixo X e no eixo Z, mas não no eixo Y; chamemos gx e gz essas componentes. A hipótese de fluxo laminar implica, obviamente, em vz = vy = 0. Finalmente, devido à simetria, para uma propriedade η qualquer,
∂
η
∂
y
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial y}}\;=\;0}
∇
⋅
v
→
=
0
⇒
∂
v
x
∂
x
+
∂
v
y
∂
y
+
∂
v
z
∂
z
=
0
⇒
∂
v
x
∂
x
+
0
+
0
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot {\vec {v}}\;=\;0\Rightarrow \;\;\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\;=\;0\Rightarrow \;\;\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;0\;+\;0\;=\;0}
−
∂
p
∂
x
+
μ
0
(
∂
2
v
x
∂
x
2
+
∂
2
v
x
∂
y
2
+
∂
2
v
x
∂
z
2
)
+
ρ
0
g
x
=
ρ
0
(
v
x
∂
v
x
∂
x
+
v
y
∂
v
x
∂
y
+
v
z
∂
v
x
∂
z
+
∂
v
x
∂
t
)
{\displaystyle -\;{\frac {\partial p}{\partial x}}\;+\;\mu _{0}\left({\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial x^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial y^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial z^{2}}}\right)\;+\;\rho _{0}g_{x}\;=\;\rho _{0}\left(v_{x}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;v_{y}{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\;+\;v_{z}{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\;+\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}\right)}
−
0
+
μ
0
(
0
+
0
+
∂
2
v
x
∂
z
2
)
+
ρ
0
g
sin
θ
=
ρ
0
(
0
+
0
+
0
+
0
)
⇒
μ
0
∂
2
v
x
∂
z
2
=
−
ρ
0
g
sin
θ
{\displaystyle -0\;+\;\mu _{0}\left(0\;+\;0\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial z^{2}}}\right)\;+\;\rho _{0}g\sin \theta \;=\;\rho _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\;+\;0\right)\Rightarrow \;\;\;\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial z^{2}}}\;=\;-\;\rho _{0}g\sin \theta }
Similarmente, para o eixo Y
−
∂
p
∂
y
+
μ
0
(
∂
2
v
y
∂
x
2
+
∂
2
v
y
∂
y
2
+
∂
2
v
y
∂
z
2
)
=
ρ
0
(
v
y
∂
v
x
∂
x
+
v
y
∂
v
y
∂
y
+
v
z
∂
v
y
∂
z
+
∂
v
x
∂
t
)
{\displaystyle -\;{\frac {\partial p}{\partial y}}\;+\;\mu _{0}\left({\frac {\partial ^{2}v_{y}}{\partial x^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{y}}{\partial y^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{y}}{\partial z^{2}}}\right)\;=\;\rho _{0}\left(v_{y}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\;+\;v_{y}{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\;+\;v_{z}{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}\;+\;{\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}\right)}
0
+
μ
0
(
0
+
0
+
0
)
=
ρ
0
(
0
+
0
+
0
+
0
)
{\displaystyle 0\;+\;\mu _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\right)\;=\;\rho _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\;+\;0\right)}
−
∂
p
∂
z
+
μ
0
(
∂
2
v
z
∂
x
2
+
∂
2
v
z
∂
y
2
+
∂
2
v
z
∂
z
2
)
+
ρ
0
g
z
=
ρ
0
(
v
x
∂
v
z
∂
x
+
v
y
∂
v
z
∂
y
+
v
z
∂
v
z
∂
z
+
∂
v
z
∂
t
)
{\displaystyle \;-\;\;{\frac {\partial p}{\partial z}}\;+\;\mu _{0}\left({\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial x^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial y^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial z^{2}}}\right)\;+\;\rho _{0}g_{z}\;=\;\rho _{0}\left(v_{x}{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\;+\;v_{y}{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\;+\;v_{z}{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\;+\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}\right)}
−
∂
p
∂
z
+
μ
0
(
0
+
0
+
0
)
+
ρ
0
g
cos
θ
=
ρ
0
(
0
+
0
+
0
+
0
)
⇒
∂
p
∂
z
=
ρ
0
g
cos
θ
{\displaystyle \;-\;\;{\frac {\partial p}{\partial z}}\;+\;\mu _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\right)\;+\;\rho _{0}g\cos \theta \;=\;\rho _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\;+\;0\right)\Rightarrow \;\;\;{\frac {\partial p}{\partial z}}\;=\;\rho _{0}g\cos \theta }
μ
0
∂
2
v
x
∂
z
2
=
−
ρ
0
g
sin
θ
⇒
v
x
=
−
ρ
0
g
sin
θ
2
μ
0
z
2
+
k
1
z
+
k
2
{\displaystyle \mu _{0}{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial z^{2}}}\;=\;-\;\rho _{0}g\sin \theta \Rightarrow \;\;\;v_{x}\;=\;-\;{\frac {\rho _{0}g\sin \theta }{2\mu _{0}}}\;z^{2}\;+\;k_{1}\;z\;+\;k_{2}}
0 (superfície do fluido), portanto
v
x
(
0
)
=
0
⇒
k
2
=
0
{\displaystyle v_{x}(0)\;=\;0\Rightarrow \;\;\;k_{2}\;=\;0}
∂
v
x
∂
z
(
−
h
0
)
=
0
⇒
ρ
0
g
sin
θ
μ
0
h
0
+
k
1
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}(-h_{0})\;=\;0\Rightarrow \;\;\;{\frac {\rho _{0}g\sin \theta }{\mu _{0}}}\;h_{0}\;+\;k_{1}\;=\;0}
v
x
=
−
ρ
0
g
sin
θ
μ
0
(
z
2
2
+
h
0
z
)
{\displaystyle v_{x}\;=\;-\;{\frac {\rho _{0}g\sin \theta }{\mu _{0}}}\left({\frac {z^{2}}{2}}\;+\;h_{0}z\right)}
τ
z
x
=
μ
0
∂
v
x
∂
z
=
−
ρ
0
g
sin
θ
(
z
+
h
0
)
{\displaystyle \tau _{zx}\;=\;\mu _{0}{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\;=\;-\;\rho _{0}g\sin \theta \left(z\;+\;h_{0}\right)}
τ
z
x
(
0
)
=
−
ρ
0
g
sin
θ
(
0
+
h
0
)
=
−
ρ
0
g
h
0
sin
θ
{\displaystyle \tau _{zx}(0)\;=\;-\;\rho _{0}g\sin \theta \left(0\;+\;h_{0}\right)\;=\;-\;\rho _{0}gh_{0}\sin \theta }
Φ
=
∫
A
x
v
x
d
z
d
y
=
W
∫
−
h
0
0
−
ρ
0
g
sin
θ
μ
0
(
z
2
2
+
h
0
z
)
d
z
{\displaystyle \Phi \;=\;\int _{Ax}v_{x}\;dz\;dy\;=\;W\int _{-h0}^{0}-{\frac {\rho _{0}g\sin \theta }{\mu _{0}}}\left({\frac {z^{2}}{2}}\;+\;h_{0}z\right)dz}
Φ
=
ρ
0
g
W
sin
θ
μ
0
∫
−
h
0
0
−
(
z
2
2
+
h
0
z
)
d
z
=
ρ
0
g
W
sin
θ
μ
0
(
z
3
6
+
h
0
z
2
2
)
|
0
−
h
0
{\displaystyle \Phi \;=\;{\frac {\rho _{0}gW\sin \theta }{\mu _{0}}}\int _{-h0}^{0}-\left({\frac {z^{2}}{2}}\;+\;h_{0}z\right)dz\;=\;{\frac {\rho _{0}gW\sin \theta }{\mu _{0}}}\left.\left({\frac {z^{3}}{6}}\;+\;{\frac {h_{0}z^{2}}{2}}\right)\right|_{0}^{-h0}}
Φ
=
ρ
0
g
W
sin
θ
μ
0
(
−
h
0
3
6
+
h
0
3
2
)
=
ρ
0
g
W
h
0
3
sin
θ
3
μ
0
{\displaystyle \Phi \;=\;{\frac {\rho _{0}gW\sin \theta }{\mu _{0}}}\left(-\;{\frac {h_{0}^{3}}{6}}\;+\;{\frac {h_{0}^{3}}{2}}\right)\;=\;{\frac {\rho _{0}gWh_{0}^{3}\sin \theta }{3\mu _{0}}}}
v
¯
x
=
Φ
A
x
=
ρ
0
g
W
h
0
3
sin
θ
3
μ
0
W
h
0
=
ρ
0
g
h
0
2
sin
θ
3
μ
0
{\displaystyle {\bar {v}}_{x}\;=\;{\frac {\Phi }{A_{x}}}\;=\;{\frac {\frac {\rho _{0}gWh_{0}^{3}\sin \theta }{3\mu _{0}}}{Wh_{0}}}\;=\;{\frac {\rho _{0}gh_{0}^{2}\sin \theta }{3\mu _{0}}}}
∂
p
∂
z
=
ρ
0
g
cos
θ
{\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial z}}\;=\;\rho _{0}g\cos \theta }
editar
Consideremos agora dois cilindros verticais concêntricos, com o cilindro exterior girando a uma velocidade constante ω0 e com um fluido Newtoniano no espaço entre eles. Dessa maneira, o fluido se movimenta em relação ao cilindro exterior. Chamemos R ao raio do cilindro interior e R + h0 ao raio do cilindro exterior. A geometria do problema pede o uso de coordenadas colindricas; para que o eixo Z aponte para baixo, a regra da mão direita exige que o ângulo Θ seja medido no sentido horário. Suponhamos que o giro do cilindro maior esteja nesse mesmo sentido, o que fará com que ω0 seja positiva.
Como vimos anteriormente , as equações básicas em coordenadas cilíndricas são as seguintes:
1
r
∂
∂
r
(
r
v
r
)
+
1
r
∂
∂
θ
(
v
θ
)
+
∂
∂
z
(
v
z
)
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}\;(rv_{r})\;+\;{\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial \theta }}\;(v_{\theta })\;+\;{\frac {\partial }{\partial z}}\;(v_{z})\;=\;0}
ρ
0
(
∂
v
r
∂
t
+
v
r
∂
v
r
∂
r
+
v
θ
r
∂
v
r
∂
θ
−
v
θ
2
r
+
v
r
∂
v
r
∂
z
)
=
{\displaystyle \rho _{0}\left({\frac {\partial v_{r}}{\partial t}}\;+\;v_{r}\;{\frac {\partial v_{r}}{\partial r}}\;+\;{\frac {v_{\theta }}{r}}\;{\frac {\partial v_{r}}{\partial \theta }}\;-\;{\frac {v_{\theta }^{2}}{r}}\;+\;v_{r}\;{\frac {\partial v_{r}}{\partial z}}\right)\;=\;}
=
ρ
0
g
r
−
∂
p
∂
r
+
μ
0
[
∂
∂
r
(
1
r
∂
∂
r
(
r
v
r
)
)
+
1
r
2
∂
2
v
r
∂
θ
2
−
2
r
2
∂
v
θ
∂
θ
+
∂
2
v
r
∂
z
2
]
{\displaystyle \;=\;\rho _{0}g_{r}\;-\;{\frac {\partial p}{\partial r}}\;+\;\mu _{0}\;\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}(rv_{r})\right)\;+\;{\frac {1}{r^{2}}}\;{\frac {\partial ^{2}v_{r}}{\partial \theta ^{2}}}\;-\;{\frac {2}{r^{2}}}\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{r}}{\partial z^{2}}}\right]}
ρ
0
(
∂
v
θ
∂
t
+
v
r
∂
v
θ
∂
r
+
v
θ
r
∂
v
θ
∂
θ
+
v
r
v
θ
r
+
v
r
∂
v
θ
∂
z
)
=
{\displaystyle \rho _{0}\left({\frac {\partial v_{\theta }}{\partial t}}\;+\;v_{r}\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial r}}\;+\;{\frac {v_{\theta }}{r}}\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}\;+\;{\frac {v_{r}v_{\theta }}{r}}\;+\;v_{r}\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial z}}\right)\;=\;}
=
ρ
0
g
θ
−
1
r
∂
p
∂
θ
+
μ
0
[
∂
∂
r
(
1
r
∂
∂
r
(
r
v
θ
)
)
+
1
r
2
∂
2
v
θ
∂
θ
2
+
2
r
2
∂
v
θ
∂
θ
+
∂
2
v
θ
∂
z
2
]
{\displaystyle \;=\;\rho _{0}g_{\theta }\;-\;{\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial p}{\partial \theta }}\;+\;\mu _{0}\;\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}(rv_{\theta })\right)\;+\;{\frac {1}{r^{2}}}\;{\frac {\partial ^{2}v_{\theta }}{\partial \theta ^{2}}}\;+\;{\frac {2}{r^{2}}}\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{\theta }}{\partial z^{2}}}\right]}
ρ
0
(
∂
v
z
∂
t
+
v
r
∂
v
z
∂
r
+
v
θ
r
∂
v
z
∂
θ
+
v
z
∂
v
z
∂
z
)
=
{\displaystyle \rho _{0}\left({\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}\;+\;v_{r}\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}}\;+\;{\frac {v_{\theta }}{r}}\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial \theta }}\;+\;v_{z}\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)\;=\;}
=
ρ
0
g
z
−
∂
p
∂
z
+
μ
0
[
1
r
∂
∂
r
(
r
∂
v
z
∂
r
)
+
1
r
2
∂
2
v
z
∂
θ
2
+
∂
2
v
z
∂
z
2
]
{\displaystyle \;=\;\rho _{0}g_{z}\;-\;{\frac {\partial p}{\partial z}}\;+\;\mu _{0}\;\left[{\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}}\right)\;+\;{\frac {1}{r^{2}}}\;{\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial \theta ^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial z^{2}}}\right]}
g
r
=
g
θ
=
0
g
z
=
g
∂
η
∂
θ
=
0
{\displaystyle g_{r}\;=\;g_{\theta }\;=\;0\qquad g_{z}\;=\;g\qquad \qquad {\frac {\partial \eta }{\partial \theta }}\;=\;0}
r = vz = 0. Como vΘ = f(r), teremos
∂
v
θ
∂
t
=
∂
v
θ
∂
θ
=
∂
v
θ
∂
z
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial v_{\theta }}{\partial t}}\;=\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}\;=\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial z}}\;=\;0}
0
+
1
r
∂
∂
θ
(
v
θ
)
+
0
=
0
{\displaystyle 0\;+\;{\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial \theta }}\;(v_{\theta })\;+\;0\;=\;0}
ρ
0
(
0
+
0
+
0
−
v
θ
2
r
+
0
)
=
0
−
∂
p
∂
r
+
μ
0
[
0
+
0
−
0
+
0
]
⇒
ρ
0
v
θ
2
r
=
∂
p
∂
r
{\displaystyle \rho _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\;-\;{\frac {v_{\theta }^{2}}{r}}\;+\;0\right)\;=\;0\;-\;{\frac {\partial p}{\partial r}}\;+\;\mu _{0}\;\left[0\;+\;0\;-\;0\;+\;0\right]\Rightarrow \;\;\;\rho _{0}{\frac {v_{\theta }^{2}}{r}}\;=\;{\frac {\partial p}{\partial r}}}
ρ
0
(
0
+
0
+
0
+
0
+
0
)
=
0
−
0
+
μ
0
[
∂
∂
r
(
1
r
∂
∂
r
(
r
v
θ
)
)
+
0
+
0
+
0
]
⇒
0
=
∂
∂
r
(
1
r
∂
∂
r
(
r
v
θ
)
)
{\displaystyle \rho _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\;+\;0\;+\;0\right)\;=\;0\;-\;0\;+\;\mu _{0}\;\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}(rv_{\theta })\right)\;+\;0\;+\;0\;+\;0\right]\Rightarrow \;\;\;0\;=\;{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}(rv_{\theta })\right)}
ρ
0
(
0
+
0
+
0
+
0
)
=
ρ
g
−
∂
p
∂
z
+
μ
0
[
0
+
0
+
0
]
⇒
ρ
g
=
∂
p
∂
z
{\displaystyle \rho _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\;+\;0\right)\;=\;\rho g\;-\;{\frac {\partial p}{\partial z}}\;+\;\mu _{0}\;\left[0\;+\;0\;+\;0\right]\Rightarrow \;\;\;\rho g\;=\;{\frac {\partial p}{\partial z}}}
1
r
d
d
r
(
r
v
θ
)
=
k
1
⇒
d
d
r
(
r
v
θ
)
=
k
1
r
⇒
(
r
v
θ
)
=
k
1
2
r
2
+
k
2
{\displaystyle {\frac {1}{r}}\;{\frac {d}{dr}}(rv_{\theta })\;=\;k_{1}\Rightarrow \;\;\;{\frac {d}{dr}}(rv_{\theta })\;=\;k_{1}r\Rightarrow \;\;\;(rv_{\theta })\;=\;{\frac {k_{1}}{2}}r^{2}\;+\;k_{2}}
v
θ
=
k
1
2
r
+
k
2
r
{\displaystyle v_{\theta }\;=\;{\frac {k_{1}}{2}}r\;+\;{\frac {k_{2}}{r}}}
0
=
k
1
2
R
+
k
2
R
⇒
k
2
=
−
k
1
2
R
2
{\displaystyle 0\;=\;{\frac {k_{1}}{2}}R\;+\;{\frac {k_{2}}{R}}\Rightarrow \;\;\;k_{2}\;=\;-\;{\frac {k_{1}}{2}}R^{2}}
0 ), vΘ = ω0 r , portanto
ω
0
(
R
+
h
0
)
=
k
1
2
(
R
+
h
0
)
+
k
2
R
+
h
0
⇒
ω
0
=
k
1
2
−
k
1
2
R
2
1
(
R
+
h
0
)
2
{\displaystyle \omega _{0}\;(R\;+\;h_{0})\;=\;{\frac {k_{1}}{2}}(R\;+\;h_{0})\;+\;{\frac {k_{2}}{R\;+\;h_{0}}}\Rightarrow \;\;\;\omega _{0}\;=\;{\frac {k_{1}}{2}}\;-\;{\frac {k_{1}}{2}}R^{2}\;{\frac {1}{(R\;+\;h_{0})^{2}}}}
k
1
=
2
ω
0
1
−
(
R
R
+
h
0
)
2
{\displaystyle k_{1}\;=\;{\frac {2\omega _{0}}{1\;-\;\left({\frac {R}{R\;+\;h_{0}}}\right)^{2}}}}
k
2
=
−
k
1
2
R
2
=
−
ω
0
R
2
1
−
(
R
R
+
h
0
)
2
{\displaystyle k_{2}\;=\;-\;{\frac {k_{1}}{2}}R^{2}\;=\;-\;{\frac {\omega _{0}R^{2}}{1\;-\;\left({\frac {R}{R\;+\;h_{0}}}\right)^{2}}}}
v
θ
=
ω
0
1
−
(
R
R
+
h
0
)
2
r
−
ω
0
R
2
1
−
(
R
R
+
h
0
)
2
1
r
=
ω
0
1
−
(
R
R
+
h
0
)
2
(
r
−
R
2
r
)
{\displaystyle v_{\theta }\;=\;{\frac {\omega _{0}}{1\;-\;\left({\frac {R}{R\;+\;h_{0}}}\right)^{2}}}\;r\;-\;{\frac {\omega _{0}R^{2}}{1\;-\;\left({\frac {R}{R\;+\;h_{0}}}\right)^{2}}}\;{\frac {1}{r}}\;=\;{\frac {\omega _{0}}{1\;-\;\left({\frac {R}{R\;+\;h_{0}}}\right)^{2}}}\left(r-{\frac {R^{2}}{r}}\right)}
rΘ
τ
r
θ
=
μ
0
[
r
∂
∂
r
(
v
θ
r
)
+
1
r
∂
v
r
∂
θ
]
=
μ
0
[
r
∂
∂
r
(
k
1
2
+
k
2
r
2
)
+
0
]
{\displaystyle \tau _{r\theta }\;=\;\mu _{0}\left[r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {v_{\theta }}{r}}\right)\;+\;{\frac {1}{r}}{\frac {\partial v_{r}}{\partial \theta }}\right]\;=\;\mu _{0}\left[r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {k_{1}}{2}}\;+\;{\frac {k_{2}}{r^{2}}}\right)\;+\;0\right]}
τ
r
θ
=
μ
0
[
r
(
−
2
k
2
r
3
)
]
=
−
2
μ
0
k
2
r
2
=
2
μ
0
ω
0
R
2
1
−
(
R
R
+
h
0
)
2
1
r
2
{\displaystyle \tau _{r\theta }\;=\;\mu _{0}\left[r\left(-\;{\frac {2k_{2}}{r^{3}}}\right)\right]\;=\;-\;{\frac {2\mu _{0}k_{2}}{r^{2}}}\;=\;{\frac {2\mu _{0}\omega _{0}R^{2}}{1\;-\;\left({\frac {R}{R\;+\;h_{0}}}\right)^{2}}}\;{\frac {1}{r^{2}}}}
τ
r
θ
(
R
)
=
2
μ
0
ω
0
R
2
1
−
(
R
R
+
h
0
)
2
1
R
2
=
2
μ
0
ω
0
1
−
(
R
R
+
h
0
)
2
{\displaystyle \tau _{r\theta }(R)\;=\;{\frac {2\mu _{0}\omega _{0}R^{2}}{1\;-\;\left({\frac {R}{R\;+\;h_{0}}}\right)^{2}}}\;{\frac {1}{R^{2}}}\;=\;{\frac {2\mu _{0}\omega _{0}}{1\;-\;\left({\frac {R}{R\;+\;h_{0}}}\right)^{2}}}}
![{\displaystyle \;=\;\rho _{0}g_{r}\;-\;{\frac {\partial p}{\partial r}}\;+\;\mu _{0}\;\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}(rv_{r})\right)\;+\;{\frac {1}{r^{2}}}\;{\frac {\partial ^{2}v_{r}}{\partial \theta ^{2}}}\;-\;{\frac {2}{r^{2}}}\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{r}}{\partial z^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf0babac13b1af4287b826a2087130ff581e40b2)
![{\displaystyle \;=\;\rho _{0}g_{\theta }\;-\;{\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial p}{\partial \theta }}\;+\;\mu _{0}\;\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}(rv_{\theta })\right)\;+\;{\frac {1}{r^{2}}}\;{\frac {\partial ^{2}v_{\theta }}{\partial \theta ^{2}}}\;+\;{\frac {2}{r^{2}}}\;{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{\theta }}{\partial z^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d17419830bab90839ece906c94ec3650441c43f)
![{\displaystyle \;=\;\rho _{0}g_{z}\;-\;{\frac {\partial p}{\partial z}}\;+\;\mu _{0}\;\left[{\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\;{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}}\right)\;+\;{\frac {1}{r^{2}}}\;{\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial \theta ^{2}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial z^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03e54d7ff3c519d30a831944d9392be0fa2e3fe8)
![{\displaystyle \rho _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\;-\;{\frac {v_{\theta }^{2}}{r}}\;+\;0\right)\;=\;0\;-\;{\frac {\partial p}{\partial r}}\;+\;\mu _{0}\;\left[0\;+\;0\;-\;0\;+\;0\right]\Rightarrow \;\;\;\rho _{0}{\frac {v_{\theta }^{2}}{r}}\;=\;{\frac {\partial p}{\partial r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44182bca2bcb70993e1637bf5f59f3cc98bfe410)
![{\displaystyle \rho _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\;+\;0\;+\;0\right)\;=\;0\;-\;0\;+\;\mu _{0}\;\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}(rv_{\theta })\right)\;+\;0\;+\;0\;+\;0\right]\Rightarrow \;\;\;0\;=\;{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}\;{\frac {\partial }{\partial r}}(rv_{\theta })\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397110d015463a234bb6c909f32eb750a6054616)
![{\displaystyle \rho _{0}\left(0\;+\;0\;+\;0\;+\;0\right)\;=\;\rho g\;-\;{\frac {\partial p}{\partial z}}\;+\;\mu _{0}\;\left[0\;+\;0\;+\;0\right]\Rightarrow \;\;\;\rho g\;=\;{\frac {\partial p}{\partial z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bce962b309adf6bb2dfa8fb98d188f57e6beeaa)
![{\displaystyle \tau _{r\theta }\;=\;\mu _{0}\left[r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {v_{\theta }}{r}}\right)\;+\;{\frac {1}{r}}{\frac {\partial v_{r}}{\partial \theta }}\right]\;=\;\mu _{0}\left[r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {k_{1}}{2}}\;+\;{\frac {k_{2}}{r^{2}}}\right)\;+\;0\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f271cf8a8f6257852c7c1cd9cbdb99ef752e967)
![{\displaystyle \tau _{r\theta }\;=\;\mu _{0}\left[r\left(-\;{\frac {2k_{2}}{r^{3}}}\right)\right]\;=\;-\;{\frac {2\mu _{0}k_{2}}{r^{2}}}\;=\;{\frac {2\mu _{0}\omega _{0}R^{2}}{1\;-\;\left({\frac {R}{R\;+\;h_{0}}}\right)^{2}}}\;{\frac {1}{r^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/468a8eed10b8303a55ed839c64b8b43c91c75e42)
