Mecânica dos fluidos/Fluxo turbulento do líquido Newtoniano

Fluxo turbulento do líquido NewtonianoEditar

Infelizmente, na maioria dos casos práticos, o escoamento é turbulento, e não laminar. Quando o fluxo é turbulento, as equações de Navier-Stokes não podem ser simplificadas como feito na seção anterior, e a solução analítica se torna impossível. Muito trabalho experimental faz-se necessário na resolução desse tipo de problema.

Observando-se o escoamento turbulento, verifica-se que, próximo às paredes, a velocidade é progressivamente reduzida, assim como acontece com o escoamento laminar. Nessa região, a teoria da camada limite pode ser aplicada com sucesso.

Tensão de ReynoldsEditar

A velocidade de um elemento de volume em fluxo turbulento pode ser decomposta em duas componentes: uma igual à velocidade média do elemento de volume naquele ponto, e outra que representa uma flutuação local no tempo:


 


Essa expressão é conhecida como separação de Reynolds. A flutuação local caracteriza-se pela variação rápida e aleatória de direção e magnitude. Se o escoamento fosse laminar, a velocidade não variaria na direção do fluxo, e teríamos, considerando escoamento na direção do eixo X,


 


A tensão sobre um elemento de volume δV, área δA e comprimento δl, será, evidentemente, dada por equações como a seguinte


 


onde v é a velocidade de uma face com relação à outra. Por exemplo,


 


e assim por diante. Mas podemos também considerar a tensão τ como composta por duas componentes: a primeira é aquela que apareceria se o fluxo fosse laminar e a velocidade naquele ponto fosse exatamente  , e a segunda, aquela que aparece devido ao caráter turbulento do fluxo:


 


Essa segunda componente é chamada de tensão de Reynolds. A tensão de Reynolds é desprezível em locais próximos às paredes, onde o fluxo pode, com boa aproximação, ser considerado laminar.

O efeito das flutuações de velocidade é a transferência de momento linear de um ponto do fluxo para outro adjacente. Assim, a tensão de Reynolds pode também ser entendida como a taxa de transferência de momento através da superfície do elemento de volume δV, área δA e comprimento δl, devida à componente flutuante da velocidade. Por exemplo,


 


onde o sinal negativo se deve ao momento estar deixando o volume de controle. Assim, podemos escrever


 


e assim por diante. A expressão acima mostra por que o escoamento é laminar próximo à parede: tanto  quanto δvx decrescem nessa região. Em algumas situações, as expressões são escritas da forma seguinte:


 


A grandeza   é chamada velocidade de fricção e comumente denotada pelo símbolo u_*.

Levantamento experimental da tensão de ReynoldsEditar

Valores da tensão de Reynolds podem ser levantadas experimentalmente para valores diversos do número de Reynolds e em formas diversas de dutos. Em geral, utilizam-se grupos adimensionais como


 


ou


 


onde d é a distância à parede e D uma medida representativa da largura do duto; por exemplo, o diâmetro, em caso de dutos de seção circular.

Os resultados experimentais indicam o seguinte:

  1. Em regiões muito próximas à parede  , vale a relação  ; essa região é chamada subcamada viscosa.
  2. Em regiões mais próximas ao centro do duto  , vale a relação  .
  3. A região intermediária   é chamada de região de transição (ing. buffer layer).

De acordo com esses resultados, a diferença as velocidades de dois pontos localizados na região afastada das paredes será


 


A partir daí, podemos expressar a velocidade em uma posição qualquer tomando como referência a velocidade no centro do tubo,


 


ou


 


onde   é a velocidade no centro do tubo. Essas expressões são conhecidas como a lei da queda de velocidade (ing. velocity defect law).

Outra expressão obtida empiricamente é a chamada lei da potência


 


onde n é uma função do número de Reynolds. A fórmula deixa claro que, quanto maior o valor de n, menos pronunciado será o perfil de velocidades, ou seja, menor será a diferença entre a velocidade em um ponto qualquer e a velocidade no centro do duto. Isso já era esperado: quanto mais turbulento o escoamento, maior a troca de momento entre os pontos do fluido e, por conseguinte, menores os gradientes de velocidade.

A lei da potência funciona razoavelmente bem para d > 0.02 D; entretanto, nas proximidades do centro do duto, deveríamos ter  , requisito que nenhuma das equações empíricas cumpre.

Uma expressão empírica para n é: n = -1.7 + 1.8 log(NRe), válida para números de Reynolds superiores a 20000. Valores de n a partir de 6 já são típicos para escoamento turbulento. Pode-se usar a aproximação n = 7 para 20000 ≤ NRe ≤ 100000 e n = 8 para 100000 ≤ NRe ≤ 400000.

Outros enfoquesEditar

A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Joseph Valentin Boussinesq
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Ludwig Prandtl
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Theodore von Karman

Boussinesq propôs a fórmula simplificada


 


onde μt (muito maior que μ) é chamada viscosidade turbulenta. Esse modelo não corresponde bem à realidade física, mas é usado devido à similaridade com o caso do escoamento laminar.

Prandtl, por sua vez, propôs a fórmula


 


onde L é uma função da distância à parede y, chamado de comprimento de mistura, para calcular a tensão de Reynolds. A fórmula é obtida a partir da hipótese de que pequenos grupos de partículas são transportados pelo movimento turbulento até à distância média L entre regiões com velocidades diferentes δv1 e δv2. Dessa forma


 


Outra proposta é a de von Kármán


 


onde τl é a tensão na parede e αk é chamada constante de von Kármán. Essa constante é igual a 0.4 para a água.

Expressões alternativas já foram sugeridas para o cálculo do perfil de velocidades:


 
(Nikuradse, para tubos lisos)


 
(Nikuradse, para tubos rugosos)


 
(Vennard)

onde e é a rugosidade relativa e NRe é o número de Reynolds.

Exercícios resolvidosEditar