Mecânica dos fluidos/Fluxo turbulento do líquido Newtoniano

Fluxo turbulento do líquido Newtoniano

Infelizmente, na maioria dos casos práticos, o escoamento é turbulento, e não laminar. Quando o fluxo é turbulento, as equações de Navier-Stokes não podem ser simplificadas como feito na seção anterior, e a solução analítica se torna impossível. Muito trabalho experimental faz-se necessário na resolução desse tipo de problema.

Observando-se o escoamento turbulento, verifica-se que, próximo às paredes, a velocidade é progressivamente reduzida, assim como acontece com o escoamento laminar. Nessa região, a teoria da camada limite pode ser aplicada com sucesso.

Tensão de Reynolds

A velocidade de um elemento de volume em fluxo turbulento pode ser decomposta em duas componentes: uma igual à velocidade média do elemento de volume naquele ponto, e outra que representa uma flutuação local no tempo:

${\vec {v}}\;=\;{\vec {\bar {v}}}\;+\;\delta {\vec {v}}$

Essa expressão é conhecida como separação de Reynolds. A flutuação local caracteriza-se pela variação rápida e aleatória de direção e magnitude. Se o escoamento fosse laminar, a velocidade não variaria na direção do fluxo, e teríamos, considerando escoamento na direção do eixo X,

${\vec {v}}\;=\;v\;{\vec {u}}_{x}\;=\;{\vec {\bar {v}}}\;=\;{\vec {f}}(y,z)$

A tensão sobre um elemento de volume δV, área δA e comprimento δl, será, evidentemente, dada por equações como a seguinte

$\tau \;=\;\mu _{0}\;{\frac {v}{\delta l}}$

onde v é a velocidade de uma face com relação à outra. Por exemplo,

$\tau _{yx}(x_{0},y_{0},z_{0})\;=\;\mu _{0}{\frac {v_{x}(y_{0},y_{0},z_{0})\;-\;v_{x}(y_{0},y_{0}\;+\;\delta y,z_{0})}{\delta y}}\;=\;\mu _{0}\;{\frac {d\;{\bar {v}}_{x}}{dy}}$

e assim por diante. Mas podemos também considerar a tensão τ como composta por duas componentes: a primeira é aquela que apareceria se o fluxo fosse laminar e a velocidade naquele ponto fosse exatamente ${\bar {v}}_{x}$, e a segunda, aquela que aparece devido ao caráter turbulento do fluxo:

$\tau _{yx}\;=\;{\bar {\tau }}_{yx}\;+\;\delta \tau _{yx}$

Essa segunda componente é chamada de tensão de Reynolds. A tensão de Reynolds é desprezível em locais próximos às paredes, onde o fluxo pode, com boa aproximação, ser considerado laminar.

O efeito das flutuações de velocidade é a transferência de momento linear de um ponto do fluxo para outro adjacente. Assim, a tensão de Reynolds pode também ser entendida como a taxa de transferência de momento através da superfície do elemento de volume δV, área δA e comprimento δl, devida à componente flutuante da velocidade. Por exemplo,

$\delta \tau _{yx}\;=\;{\frac {\delta F_{x}}{\delta A_{x}}}\;=\;{\frac {\frac {\delta M_{x}}{\delta t}}{\delta y\;\delta z}}\;=\;{\frac {-\;{\frac {\rho _{0}\;\delta V\;\delta {\bar {v}}_{x}}{\delta t}}}{\delta y\;\delta z}}\;=\;-\;{\frac {\rho _{0}\;\delta x\;\delta {\bar {v}}_{x}}{\delta t}}\;=\;-\;\rho _{0}\;{\bar {v}}_{x}\;\delta {\vec {v}}_{x}$

onde o sinal negativo se deve ao momento estar deixando o volume de controle. Assim, podemos escrever

$\tau _{yx}\;=\;\mu _{0}\;{\frac {d\;{\bar {v}}_{x}}{dy}}\;-\;\rho _{0}\;{\bar {v}}_{x}\;\delta {\bar {v}}_{x}$

e assim por diante. A expressão acima mostra por que o escoamento é laminar próximo à parede: tanto ${\bar {v}}_{x}$quanto δv_x decrescem nessa região. Em algumas situações, as expressões são escritas da forma seguinte:

${\frac {\tau _{yx}}{\rho _{0}}}\;=\;{\frac {\mu _{0}}{\rho _{0}}}\;{\frac {d\;{\bar {v}}_{x}}{dy}}\;-\;{\bar {v}}_{x}\;\delta {\bar {v}}_{x}$

A grandeza ${\sqrt {\frac {\bar {\tau }}{\rho _{0}}}}\;=\;{\sqrt {{\frac {\mu _{0}}{\rho _{0}}}\;{\frac {d\;{\bar {v}}_{x}}{dy}}}}$ é chamada velocidade de fricção e comumente denotada pelo símbolo u_*.

Levantamento experimental da tensão de Reynolds

Valores da tensão de Reynolds podem ser levantadas experimentalmente para valores diversos do número de Reynolds e em formas diversas de dutos. Em geral, utilizam-se grupos adimensionais como

$\pi _{1}\;=\;{\frac {\tau _{t}}{\tau _{l}}}\qquad \pi _{2}\;=\;{\frac {d}{D}}$

ou

$\pi _{1}\;=\;u^{+}\;=\;{\frac {\bar {v}}{u_{*}}}\qquad \pi _{2}\;=\;y^{+}\;=\;{\frac {\rho _{0}\;d\;u_{*}}{\mu _{0}}}$

onde d é a distância à parede e D uma medida representativa da largura do duto; por exemplo, o diâmetro, em caso de dutos de seção circular.

Os resultados experimentais indicam o seguinte:

1. Em regiões muito próximas à parede $(0\;\leq \;y^{+}\;\leq \;5)$, vale a relação $u^{+}\;=\;y^{+}$; essa região é chamada subcamada viscosa.
2. Em regiões mais próximas ao centro do duto $(y^{+}\;\geq \;30)$, vale a relação $u^{+}\;=\;5.0\;+\;2.5\;\ln(y^{+})$.
3. A região intermediária $(5\;\leq \;y^{+}\;\leq \;30)$ é chamada de região de transição (ing. buffer layer).

De acordo com esses resultados, a diferença as velocidades de dois pontos localizados na região afastada das paredes será

$u_{1}^{+}\;-\;u_{1}^{+}\;=\;2.5\;\ln \left({\frac {y_{1}^{+}}{y_{2}^{+}}}\right)\;=\;2.5\;\ln \left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)$

A partir daí, podemos expressar a velocidade em uma posição qualquer tomando como referência a velocidade no centro do tubo,

$u_{r}^{+}\;-\;u^{+}\;=\;2.5\;\ln \left({\frac {D}{2d}}\right)\;\;\;\Rightarrow u^{+}\;=\;u_{r}^{+}\;-\;2.5\;\ln \left({\frac {D}{2d}}\right)$

ou

${\bar {v}}_{x}\;=\;{\bar {v}}_{r}\;-\;2.5\;u_{*}\;\ln \left({\frac {D}{2d}}\right)$

onde ${\bar {v}}_{r}$ é a velocidade no centro do tubo. Essas expressões são conhecidas como a lei da queda de velocidade (ing. velocity defect law).

Outra expressão obtida empiricamente é a chamada lei da potência

${\bar {v}}_{x}\;=\;{\bar {v}}_{r}\;\left({\frac {2d}{D}}\right)^{\frac {1}{n}}$

onde n é uma função do número de Reynolds. A fórmula deixa claro que, quanto maior o valor de n, menos pronunciado será o perfil de velocidades, ou seja, menor será a diferença entre a velocidade em um ponto qualquer e a velocidade no centro do duto. Isso já era esperado: quanto mais turbulento o escoamento, maior a troca de momento entre os pontos do fluido e, por conseguinte, menores os gradientes de velocidade.

A lei da potência funciona razoavelmente bem para d > 0.02 D; entretanto, nas proximidades do centro do duto, deveríamos ter ${\frac {\Delta \;{\bar {v}}_{x}}{\Delta d}}\;=\;0$, requisito que nenhuma das equações empíricas cumpre.

Uma expressão empírica para n é: n = -1.7 + 1.8 log(N_Re), válida para números de Reynolds superiores a 20000. Valores de n a partir de 6 já são típicos para escoamento turbulento. Pode-se usar a aproximação n = 7 para 20000 ≤ N_Re ≤ 100000 e n = 8 para 100000 ≤ N_Re ≤ 400000.

Outros enfoques

Boussinesq propôs a fórmula simplificada

$\tau \;=\;\mu _{t}\;{\frac {dv}{dy}}$

onde μ_t (muito maior que μ) é chamada viscosidade turbulenta. Esse modelo não corresponde bem à realidade física, mas é usado devido à similaridade com o caso do escoamento laminar.

Prandtl, por sua vez, propôs a fórmula

$\tau \;=\;\rho L^{2}\left({\frac {dv}{dy}}\right)^{2}$

onde L é uma função da distância à parede y, chamado de comprimento de mistura, para calcular a tensão de Reynolds. A fórmula é obtida a partir da hipótese de que pequenos grupos de partículas são transportados pelo movimento turbulento até à distância média L entre regiões com velocidades diferentes δv₁ e δv₂. Dessa forma

$\tau \;=\;\rho \;\delta v_{1}\;\delta v_{2}\qquad \delta v_{1}\approx \delta v_{2}\approx L{\frac {dv}{dy}}$

Outra proposta é a de von Kármán

$\tau \;=\;\tau _{l}\left(1\;-\;{\frac {2y}{D}}\right)\;=\;\alpha _{k}^{2}\;\rho \;{\frac {\left({\frac {dv}{dy}}\right)^{4}}{\left({\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}\right)^{2}}}$

onde τ_l é a tensão na parede e α_k é chamada constante de von Kármán. Essa constante é igual a 0.4 para a água.

Expressões alternativas já foram sugeridas para o cálculo do perfil de velocidades:

$u^{+}\;=\;5.5\;+\;5.75\;\ln \left({\frac {y\cdot u^{+}}{\mu _{0}}}\right)$ (Nikuradse, para tubos lisos)

$u^{+}\;=\;8.5\;+\;5.75\;\ln \left({\frac {2y}{e\cdot D}}\right)$ (Nikuradse, para tubos rugosos)

${\bar {u}}^{+}\;=\;{\frac {1}{1\;+\;4.07{\sqrt {\frac {8}{N_{Re}}}}}}$ (Vennard)

onde e é a rugosidade relativa e N_Re é o número de Reynolds.

Exercícios resolvidos

• E5