Mecânica dos fluidos/Pressão sobre corpos submersos

Pressão sobre uma placa retangular imersa em um fluido incompressível

Uma placa retangular, de dimensões L x W, espessura desprezível, imersa em um fluido incompressível de densidade $\rho$, sofre pressão sobre a sua superfície superior, devido ao peso desse fluido. Se a placa estiver imersa a uma profundidade D e perfeitamente alinhada horizontalmente, todos os pontos estarão sujeitos à mesma pressão $p\;=\;\rho gD$.

Se, no entanto, apenas a sua extremidade superior estiver alinhada com a horizontal e a face fizer um ângulo Θ com esta, os pontos sofrerão uma pressão que varia com a profundidade, de $\rho gD$ no topo a $\rho g(D\;+\;L\sin \theta )$ na extremidade inferior. Isso dará origem não apenas a uma força resultante sobre a superfície, mas também a um torque na direção horizontal.

Para obter a força, é preciso integrar a força infinitesimal sobre cada elemento de área da placa.

$dF\;=\;pdA\;=\;(\rho gh)dA$

A direção da pressão é sempre perpendicular à superfície da placa, pois o líquido está estático, o que simplifica o cálculo, tornando desnecessário trabalhar com vetores. Podemos introduzir a variável x, variando de 0 a L, ao longo da face da placa, sendo $h\;=\;D\;+\;x\sin \theta$, para integrar a equação acima.

$dF\;=\;\rho g(D\;+\;x\sin \theta )dA$

$dF\;=\;\rho g(D\;+\;x\sin \theta )Wdx$

$F\;=\;\rho gW\left(DL\;+\;{\frac {L^{2}\sin \theta }{2}}\right)$

O torque sobre a superfície, por sua vez, tomando-se como referência a extremidade superior, será dado por

$d\Omega \;=\;xdF\;=\;x\rho g(D\;+\;x\sin \theta )Wdx\;=\;\rho gW(Dx\;+\;x^{2}\sin \theta )dx$

$\Omega \;=\;\rho gW\left({\frac {DL^{2}}{2}}\;+\;{\frac {L^{3}\sin \theta }{3}}\right)$

A profundidade do centro geométrico da placa é

$h_{c}\;=\;D\;+\;{\frac {L\sin \theta }{2}}$

e a pressão nessa profundidade é

$p_{c}\;=\;\rho gh_{c}\;=\;\rho g\left(D\;+\;{\frac {L\sin \theta }{2}}\right)$

que daria origem, se aplicada uniformemente a toda a placa, a uma força

$F_{c}\;=\;p_{c}A\;=\;\rho g\left(D\;+\;{\frac {L\sin \theta }{2}}\right)WL\;=\;\rho gW\left(DL\;+\;{\frac {L^{2}\sin \theta }{2}}\right)$

que é igual à força resultante sobre a placa calculada acima. Assim, podemos escrever que a força resultante sobre a placa submersa é igual à força que apareceria se ela estivesse mergulhada na posição horizontal na profundidade em que se encontra o seu centro geométrico. Quanto ao torque, podemos dizer que ele é igual à força $F_{C}$ aplicada à posição

$x_{\Omega }\;=\;{\frac {\Omega }{F_{c}}}\;=\;{\frac {{\frac {DL}{2}}\;+\;{\frac {L^{2}\sin \theta }{3}}}{D\;+\;{\frac {L\sin \theta }{2}}}}$

$x_{\Omega }\;=\;{\frac {\left({\frac {DL}{2}}\;+\;{\frac {L^{2}\sin \theta }{4}}\;+\;{\frac {L^{2}\sin \theta }{12}}\right)}{D\;+\;{\frac {L\sin \theta }{2}}}}\;=\;{\frac {L}{2}}\;+\;{\frac {\frac {L^{2}\sin \theta }{12}}{D\;+\;{\frac {L\sin \theta }{2}}}}$

Esse ponto está a uma profundidade

$h_{\Omega }\;=\;D+x_{\Omega }\sin \theta$

e é a coordenada vertical do ponto de aplicação da força resultante F_c. As outras coordenadas são, obviamente:

$y_{\Omega }\;=\;{\frac {W}{2}}$

$z_{\Omega }\;=\;x_{\Omega }\cos \theta$

A força F_c, por sua vez, pode ser expressa por suas componentes em cada uma das dimensões

$F_{H}\;=\;F_{c}\sin \theta \qquad F_{V}\;=\;F_{c}\cos \theta \qquad F_{y}\;=\;0$

Os 6 valores F_H, F_V, F_y, h_Ω, z_Ω e y_Ω descrevem completamente a força aplicada à superficie.

Pressão sobre uma placa plana de qualquer formato imersa em um fluido incompressível

Qualquer que seja o formato da placa, podemos escrever, como acima

$dF\;=\;pdA\;=\;(\rho gh)dA\;=\;\rho g(D\;+\;x\sin \theta )dA$

$F\;=\;\rho g\left(D\int dA\;\;\;+\;\;\;\sin \theta \int xdA\right)\;=\;\rho g\left(DA\;+\;M_{0}\sin \theta \right)$

$d\Omega _{x}\;=\;xdF\;=\;x\rho g(D\;+\;x\sin \theta )dA$

$\Omega _{x}\;=\;\rho g\left(D\int xdA\;\;\;+\;\;\;\sin \theta \int x^{2}dA\right)\;=\;\rho g\left(M_{0}D\;+\;I_{0}\sin \theta \right)$

onde

$M_{0}\;=\;\int xdA\qquad e\qquad I_{0}\;=\;\int x^{2}dA$

são, respectivamente, o primeiro e o segundo momentos da área da superfície com relação ao eixo que passa pela extremidade superior.

A profundidade do centro geométrico da placa é

$h_{c}\;=\;D\;+\;x_{c}\sin \theta \;=\;D\;+\;{\frac {\int xdA}{\int dA}}\sin \theta \;=\;D\;+\;{\frac {M_{0}}{A}}\sin \theta$

e a pressão nessa profundidade é

$p_{c}\;=\;\rho gh_{c}\;=\;\rho g\left(D\;+\;{\frac {M_{0}}{A}}\sin \theta \right)$

que daria origem, se aplicada uniformemente a toda a placa, a uma força

$F_{c}\;=\;p_{c}A\;=\;\rho g\left(DA\;+\;M_{0}\sin \theta \right)$

que também é igual à força resultante sobre a placa calculada acima. Assim, podemos escrever que a força resultante sobre a placa submersa, qualquer que seja o seu formato, é igual à força que apareceria se ela estivesse mergulhada na posição horizontal na profundidade em que se encontra o seu centro geométrico. Quanto ao torque, podemos lançar mão do teorema dos eixos paralelos (ou teorema de Steiner) e substituir

$I_{0}\;=\;I_{c}\;+\;Ax_{c}^{2}\;=\;I_{c}\;+\;Ax_{c}\cdot x_{c}\;=\;I_{c}\;+\;Ax_{c}{\frac {M_{0}}{A}}\;=\;I_{c}\;+\;x_{c}M_{0}$

onde $I_{c}$ é o segundo momento da área (ou momento de inércia da placa) com relação a um eixo que passa pela posição $x_{c}$

$\Omega _{x}\;=\;\rho g\left(M_{0}D\;+\;I_{0}\sin \theta \right)\;=\;\rho g\left(Ax_{c}D\;+\;(I_{c}\;+\;x_{c}M_{0})\sin \theta \right)\;=\;\rho gx_{c}(DA\;+\;M_{0}\sin \theta )\;+\;\rho gI_{c}\sin \theta$

$\Omega _{x}\;=\;x_{c}F_{c}\;+\;\rho gI_{c}\sin \theta$

$x_{\Omega }\;=\;{\frac {\Omega _{x}}{F_{c}}}\;=\;{\frac {x_{c}F_{c}\;+\;\rho gI_{c}\sin \theta }{F_{c}}}\;=\;x_{c}\;+\;{\frac {\rho gI_{c}\sin \theta }{F_{c}}}\;=\;x_{c}\;+\;{\frac {\rho gI_{c}\sin \theta }{\rho gh_{c}A}}$

$x_{\Omega }\;=\;x_{c}\;+\;{\frac {I_{c}\sin \theta }{h_{c}A}}$

No caso de uma placa retangular, não haverá torque na direção horizontal, devido à simetria $\left(y_{\Omega }\;=\;{\frac {W}{2}}\right)$. Para uma placa de formato qualquer, é preciso calculá-lo de acordo com as mesmas fórmulas. Os 6 valores F_H, F_V, F_y, h_Ω, z_Ω e y_Ω descrevem completamente a força aplicada à superficie.

Pressão sobre uma placa curva imersa em um fluido incompressível

No caso de uma placa curva, não temos mais os infinitesimais dF apontando todos para a mesma direção. O cálculo se torna mais complexo, porque é preciso integrar separadamente as componentes vertical e horizontal dF_H e dF_V:

$dF_{H}\;=\;pdA_{V}\qquad dF_{V}\;=\;pdA_{H}$

$F_{H}\;=\;\int pdA_{V}\qquad F_{V}\;=\;\int pdA_{H}$

onde dA_H e dA_V são, respectivamente, as projeções do elemento de área dA na direção horizontal e vertical. No caso de F_H, a fórmula deixa claro que a superfície curva A pode ser substituída pela sua projeção na vertical A_V, sem que o cálculo seja afetado. Assim, podemos usar a fórmula geral

$F_{H}\;=\;p_{c}A_{V}$

Quanto a F_V, pode-se usar o mesmo método ou desenvolver-se a expressão

$F_{V}\;=\;\int pdA_{H}\;=\;\int \rho ghdA_{H}\;=\;\rho g\int hdA_{H}\;=\;\rho gV_{s}$

onde V_s é o volume de fluido total que se encontra sobre a placa.

O torque na direção horizontal pode ser calculado a partir da força F_H como se a placa fosse plana. A direção x deve ser escolhida de forma a coincidir com o eixo vertical e a direção z, com a horizontal.

$x_{\Omega }\;=\;x_{c}\;+\;{\frac {I_{c}}{h_{c}A_{V}}}$

$\Omega _{H}\;=\;x_{\Omega }F_{H}$

Para calcular $z_{\Omega }$, deve-se encontrar a coordenada horizontal do centro de massa do volume de fluido sobre a placa.

Vale ressaltar que o método usado para o cálculo de F_H é totalmente geral e pode ser usado qualquer que seja a direção desejada. Dependendo da posição da placa, pode ser conveniente escolher uma direção de análise que não coincida com a horizontal ou a vertical.

Caso especial de uma placa plana retangular

Se a placa for plana e retangular, de dimensões L x W, espessura desprezível, estiver imersa a uma profundidade D e a face fizer um ângulo Θ com esta, como na seção anterior

$F_{H}\;=\;p_{c}A_{V}\;=\;\rho gh_{c}WL\sin \theta \;=\;\rho g(D+{\frac {L\sin \theta }{2}})WL\sin \theta$

$F_{H}\;=\;\rho gW\left(DL\;+\;{\frac {L^{2}\sin \theta }{2}}\right)\cdot \sin \theta \;=\;F_{c}\sin \theta$

que é a componente horizontal da força F_c calculada na seção anterior.

$F_{V}\;=\;\rho gV_{s}\;=\;\rho g\left(DWL\cos \theta \;+\;W{\frac {L\sin \theta \cdot L\cos \theta }{2}}\right)\;=\;\rho gW\left(DL\;+\;{\frac {L^{2}\sin \theta }{2}}\right)\cdot \cos \theta \;=\;F_{c}\cos \theta$

que é a componente vertical da força F_c calculada na seção anterior.

$x_{\Omega }\;=\;x_{c}\;+\;{\frac {I_{c}}{h_{c}A_{V}}}\;=\;{\frac {L\sin \theta }{2}}\;+\;{\frac {(\int _{0}^{L\sin \theta }(x\;-\;x_{c})^{2}dA)}{(D\;+\;{\frac {L}{2}}\sin \theta )A_{V}}}$

$x_{\Omega }\;=\;{\frac {L\sin \theta }{2}}\;+\;{\frac {W{\frac {(L\sin \theta \;-\;{\frac {L\sin \theta }{2}})^{3}\;-\;(0\;-\;{\frac {L\sin \theta }{2}})^{3}}{3}}}{(D\;+\;{\frac {L}{2}}\sin \theta )WL\sin \theta }}\;=\;{\frac {L\sin \theta }{2}}\;+\;{\frac {{\frac {L^{2}}{12}}\sin ^{2}\theta }{D\;+\;{\frac {L}{2}}\sin \theta }}$

$x_{\Omega }\;=\;\left[{\frac {L}{2}}\;+\;{\frac {{\frac {L^{2}}{12}}\sin \theta }{D\;+\;{\frac {L}{2}}\sin \theta }}\right]\sin \theta$

que é o mesmo valor calculado na seção anterior, apenas multiplicado por $\sin \theta$, devido à mudança de orientação do eixo x, de paralelo à face da placa para a vertical. Na direção horizontal, podemos escrever $x\;=\;z\tan \theta$ e calcular

$z_{\Omega }\;=\;{\frac {M_{Vs}}{V_{s}}}\;=\;{\frac {\int zdV}{\int dV}}\;=\;{\frac {W\int _{0}^{L\cos \theta }\int _{-D}^{z\tan \theta }zdxdz}{W\int _{0}^{L\cos \theta }\int _{-D}^{z\tan \theta }dxdz}}\;=\;{\frac {\int _{0}^{L\cos \theta }z(z\tan \theta \;+\;D)dz}{\int _{0}^{L\cos \theta }(z\tan \theta \;+\;D)dz}}$

$z_{\Omega }\;=\;{\frac {{\frac {L^{3}\cos ^{3}\theta \tan \theta }{3}}\;+\;{\frac {DL^{2}\cos ^{2}\theta }{2}}}{{\frac {L^{2}\cos ^{2}\theta \tan \theta }{2}}\;+\;DL\cos \theta }}\;=\;{\frac {{\frac {L^{2}\sin \theta }{3}}\;+\;{\frac {D}{2}}}{{\frac {L\sin \theta }{2}}\;+\;D}}\cdot \cos \theta$

que é o mesmo valor calculado na seção anterior.

Outros casos especiais

O método apresentado nesta seção é bastante genérico e serve para calcular a pressão sobre uma superfície qualquer, bastando dividi-la em um número apropriado n de superfícies (S₁, S₂, etc.) de forma que o cálculo se torne fácil.

• Placa apenas parcialmente submersa: neste caso, é preciso dividir a superfície S em n partes, calcular os parâmetros (F_H, F_V, F_y, x_Ω, y_Ω e zx_Ω) para cada uma das superfícies S_i totalmente submersas e somar os vetores.

• Placa submersa em fluidos diferentes: neste caso, é preciso dividir a superfície S em n partes, cada uma delas em contato com no máximo um fluido, calcular os parâmetros (F_H, F_V, F_y, x_Ω, y_Ω e zx_Ω) para cada uma das superfícies totalmente submersas e somar os vetores.