Mecânica dos fluidos/Protótipos e similitude

Protótipos e similitude

Em Mecânica dos Fluidos, devido à dificuldade de resolver a maioria dos problemas de forma analítica, é comum recorrer-se a um protótipo, que é um modelo do sistema em estudo, construído especialmente para ser submetido a ensaios de laboratório. Para estudar a resistência aerodinâmica de uma carroceria de automóvel, por exemplo, os fabricantes de automóveis constroem protótipos em madeira, gesso ou outro material facilmente moldável, de seus produtos e examinam-nos em um túnel de vento. Esse modelo geralmente é construído em escala menor do que o sistema real, mas isso não é verdade em 100% dos casos. Alguns fabricantes utilizam modelos em escala 1:1 nos seus túneis de vento.

Para que os resultados experimentais tenham utilidade, é preciso que seja possível transferi-los para a escala original. Os requerimentos necessários para que isso ocorra são conhecidos como diferentes formas de similitude.

Existem diversos tipos de similitude. A mais básica é a similitude geométrica, que obriga que todas as dimensões lineares do problema original apareçam no protótipo divididas pelo mesmo fator. Com isso, os ângulos aparecem iguais no original e no modelo, que por conseguinte possuirão a mesma forma.

Em geral, não é suficiente que um modelo seja geometricamente similar ao original para ser útil. A similitude cinemática vai além, obrigando que todas as velocidades presentes no problema original apareçam no protótipo na mesma direção e divididas pelo mesmo fator comum. Um modelo cinematicamente similar ao original terá as linhas de corrente geometricamente similares às do original. Ele também terá, necessariamente, similitude geométrica.

A similitude dinâmica é ainda mais estrita, obrigando que todas as forças presentes no problema original apareçam no protótipo na mesma direção e com magnitudes divididas pelo mesmo fator comum. Um modelo dinamicamente similar ao original terá também, necessariamente, similitude cinemática. Esse tipo de similitude é mais difícil de se obter e, em algumas situações, o experimento precisará usar um modelo apenas cinematicamente similar ao original.

Além da similitude, o protótipo precisa apresentar todos os efeitos importantes que estejam presentes no original. Por exemplo, se efeitos de compressibilidade ou cavitação forem relevantes no problema, o modelo deve representá-los adequadamente. Em um modelo em escala 1:n, as dimensões lineares aparecem n vezes menores; por conseguinte, as áreas aparecem n² vezes menores, e os volumes, n³ vezes menores. Para obter similitude dinâmica, todas as forças relevantes devem ser apresentadas no modelo, submetidas ao mesmo fator de escala, que, no entanto, não precisa ser o mesmo das dimensões lineares.

Equações em forma adimensional

É possível escrever as equações descritivas dos fenômenos em forma adimensional, como será mostrado mais adiante. Sob essa forma, a solução dessas equações torna-se um problema de matemática abstrata; métodos numéricos e/ou aproximativos, que em muitos casos são a única maneira de se obter uma solução, podem ser aplicados mais facilmente às equações nessa forma. Essa forma das equações também se presta melhor ao trabalho com os protótipos; elas indicam com clareza o que deve acontecer para que seja alcançada a similitude ao original. Uma vez obtida a solução, basta aplicar os fatores de escalamento para ter-se as dimensões, velocidades e forças referentes ao caso real.

Como as equações em geral usam diferenciais, a solução do problema envolve aplicação de condições do contorno. Essas condições também devem ser passadas para a forma adimensional, escaladas de acordo com os mesmos fatores a apresentar o mesmo grau de similitude ao original.

Similitude incompleta

Em algumas situações, pode ser impossível obter a similitude dinâmica requerida pelo problema. Por exemplo, na determinação experimental da força de arrasto de um grande navio, é necessário usar um fator de escala n muito grande, tipicamente 100, para que o modelo tenha um tamanho viável. Com isso, a velocidade de arrasto do modelo precisa ser bem menor que a do original, porque um dos grupos adimensionais relevantes no caso é

\pi _{1}\;=\;{\frac {v^{2}}{gL}}

n = 100, neste caso, exigiria uma velocidade no modelo (v_m) de um décimo da velocidade no original (v_o). Outro grupo adimensional relevante é

\pi _{2}\;=\;{\frac {\mu }{\rho vL}}

e o modelo precisaria usar um fluido com razão viscosidade/densidade (ou seja, a viscosidade cinemática) 1000 vezes menor que a da água, que é o que existe na situação original. Tal fluido não existe.

Em tais situações, é preciso recorrer à similitude incompleta. Isso implica criar um modelo que satisfaça a apenas um grupo das condições requeridas. No exemplo do navio, podemos considerar que a força de arrasto total (F_a) é composta de duas componentes, uma delas devida às forças gravitacionais (F_g) e a outra devida à viscosidade do fluido (F_v); construir um modelo que satisfaça ao grupo Π₁; realizar o ensaio experimental para levantar F_a; calcular a força F_v através da teoria ou estimá-la por meio de algum outro ensaio experimental; obter F_g = F_a - F_v; estimar F_v para o original, de novo através da teoria ou de outro ensaio experimental; estimar F_g para o original, a partir do valor obtido para o modelo, uma vez que para F_g a condição de similitude dinâmica foi cumprida; e finalmente obter F_a = F_g + F_v para o original.

Outro recurso que poderia ser empregado é a colocação de aletas no modelo, para similar o comportamento de um fluido de elevada viscosidade. O modelo assim criado não teria similitude geométrica, mas seria útil para o experimento.

A expressão do grupo Π₂ mostra que a velocidade deve crescer n vezes se o comprimento diminuir n vezes, se o fluido for usado no original e no modelo. Assim, em ensaios de grandes caminhões no túnel de vento, a velocidade do escoamento exigida para similitude dinâmica pode chegar a um valor muito elevado, e os efeitos de compressibilidade do ar passarem a ser relevantes, inviabilizando a experiência. No entanto, a experiência mostra que não é absolutamente necessário, no caso de objetos pouco aerodinâmicos, manter o produto vL constante; o escoamento, nesses casos, é sempre turbulento, por isso é preciso apenas que o valor de vL no modelo seja grande o bastante para que o escoamento tenha essa característica. Portanto, nesse caso a similitude cinemática pode ser abandonada, e mesmo assim o modelo será útil para o experimento.

Problemas onde existe mais de uma variável dependente

Na maioria dos problemas existem várias variáveis dependentes de um mesmo conjunto de parâmetros. Nesses casos, o procedimento de determinação dos grupos adimensionais deve ser feito de forma independente para cada uma delas. Em outras palavras, se d₁, d₂ ... d_n forem as variáveis dependentes e v₁, v₂ ... v_m forem as variáveis independentes, o correto é obter n conjuntos de grupos Π, a partir das variáveis originais {d₁, ,v₁, v₂ ... v_m}, {d₂, v₁, v₂ ... v_m} ... {d_m, v₁, v₂ ... v_m}, em lugar de obter um único conjunto de grupos a partir das variáveis originais {d₁, d₂, ... d_n, v₁, v₂ ... v_m}. Isso reduz a complexidade da obtenção da similitude, pois para cada variável dependente pode ser adotado um fator de escalamento diferente.

Exercícios resolvidos

F5