Mecânica dos fluidos/Análise dimensional

Introdução

Conceito

A análise tradicional trata das relações matemáticas entre as grandezas físicas relevantes. Em contraste, a análise dimensional trata das relações matemáticas entre as dimensões dessas grandezas. As técnicas da análise dimensional geralmente são mais simples e complementam as técnicas tradicionais, apresentando utilidade no:

• desenvolvimento de equações para uso na análise tradicional
• desenvolvimento de fórmulas para conversão entre diferentes sistemas de unidades
• descoberta de quais variáveis são relevantes em um determinado problema teórico ou experimental
• estabelecimento de princípios para o desenvolvimento de protótipos

A análise dimensional tem o objetivo de proporcionar uma idéia geral de um determinado problema antes de aplicar as técnicas experimentais ou de análise. Dessa forma, a probabilidade de escolha de uma linha de trabalho bem sucedida ou mais econômica é maior. Ela também permite identificar tendências ou constantes a partir de um volume grande de dados experimentais.

Análise dimensional não se aplica apenas à mecânica dos fluidos, mas a qualquer ramo da ciência, em princípio. Em mecânica dos fluidos, entretanto, ela adquire uma importância particular devido à dificuldade em se obterem soluções analíticas para a maioria dos problemas práticos.

Algumas relações básicas

A análise dimensional consiste em expressar todas as relações em função de três dimensões básicas independentes, que podem ser massa (M), comprimento (L) e tempo (t), por exemplo. Neste caso, algumas grandezas comuns em mecânica dos fluidos seriam facilmente expressas da forma seguinte:

• área: [L²]
• volume: [L³]
• densidade: [ML^-3]
• velocidade: [Lt^-1]
• velocidade angular: [t^-1]
• aceleração: [Lt^-2]
• força: [MLt^-2]
• pressão: [ML^-1t^-2]
• energia/trabalho/calor: [ML²t^-2]
• potência: [ML²t^-3]
• torque: [ML²t^-2] (o mesmo que energia/trabalho/calor)

A partir daí, podemos passar a algumas grandezas menos comuns:

• tensão: [ML^-1t^-2] (o mesmo que a pressão)
• tensão superficial: [Mt^-2] (o mesmo que força por comprimento)
• viscosidade: [ML^-1t^-1]
• viscosidade cinemática: [L²t^-1]
• vazão volumétrica: [L³t^-1]
• vazão mássica: [Mt^-1]

Exemplo de desenvolvimento de equação a partir da análise dimensional

Como exemplo, suponhamos que queremos encontrar uma fórmula para expressar a distância percorrida por um corpo em queda livre a partir do repouso. Intuitivamente, sabemos que ela dependerá da aceleração gravitacional, da massa do corpo e do tempo decorrido. Escrevemos então l = f(m,g,t) e supomos f = k·m^a·g^bt^c, onde k é uma constante adimensional; essa é a forma mais simples de equação possível. O problema consiste, então, em encontrar os valores de a, b e c, constantes inteiras. Escrevemos então a equação dimensional L = D(l) = D(f) = D(k·m^a·g^bt^c) = M^a[Lt^-2]^bt^c = M^aL^bt^c-2b, o que resulta em a = 0, b = 1 e c - 2b = 0 ⇒ c = 2. Assim, l = kgt², o que indica que nossa expectativa inicial de a massa do corpo influir no resultado era incorreta, mas não nos impediu de chegar à resposta correta.

A constante adimensional k precisa ser obtida experimentalmente. Neste caso, k = 0.5. Frequentemente é impossível encontrar o valor dessa constante, o que indica que a função f considerada inicialmente precisa ser reformulada. Suponhamos, por exemplo, que o corpo possuía uma velocidade inicial v. Para encontrar a influência dessa grandeza no resultado, aplicamos novamente a técnica, escrevendo l = f(m,g,t,v), supomos f = k·m^a·g^bt^cv^d,o que resulta em L = D(l) = D(f) = D(k·m^a·g^bt^cv^d) = M^a[Lt^-2]^bt^c[Lt^-1]^d = M^aL^b-dt^c-2b-d, o que resulta em a = 0, b - d = 1 e c - 2b - d = 0. Esse sistema possui uma infinidade de soluções: uma delas é b = 2, d = 1 e c = 5, o que resultaria em l = kg²t⁵v. A experiência mostrará que em nenhum caso será possível encontrar um valor para k que se ajuste aos resultados práticos. A função f teria que ser alterada para f = k₁·m^a·g^bt^cv^d + k₂·m^e·g^ft^gv^h, e então, após algumas tentativas, o resultado correto seria alcançado.

Exemplo de aplicação da análise dimensional para simplificar um procedimento experimental

Considere-se o problema, relativamente simples, da determinação da força de arrasto em um objeto esférico perfeitamente liso imerso em um líquido. Podemos razoavelmente supor que o fenômeno será influenciado por um pequeno número de variáveis: o tamanho da esfera, a velocidade do fluxo, a viscosidade e a densidade do fluido. Um procedimento experimental direto para levantar o valor da força F como uma função desses 5 parâmetros seria realizar um número n de experiências diferentes variando apenas um deles, mantendo os demais constantes, e medindo de alguma forma a força de arrasto em cada caso; seriam, portanto n⁴ experiências e n = 10, um valor não muito grande, resultaria em 10.000 experiências. Além disso, para eliminar erros aleatórios de medição, cada medição deveria ser realizada algumas vezes, e a média e a variância da distribuição, analisadas. O trabalho seria imenso e tomaria muito tempo, e o volume de dados obtido demandaria um esforço de análise ainda maior. Outra dificuldade seria a obtenção de fluidos diferentes com a mesma densidade e viscosidades diferentes, e de fluidos com viscosidades iguais e diferentes densidades.

A análise dimensional ajuda a diminuir essas dificuldades, pois podem-se combinar essas 5 variáveis (as 4 originais, mais a força de arrasto) de forma a obterem-se 2 grupos adimensionais (ou monômios adimensionais) e escrevendo-se um em função do outro, o que requer um número de experiências 1.000 vezes menor. Além disso, a viscosidade e a densidade podem ser combinadas no adimensional ${\frac {\rho vL}{\mu }}$, o que elimina a necessidade de se variar o valor desses parâmetros durante o experimento; basta variar a velocidade do fluxo, o que permite que apenas um líquido já seja suficiente para o levantamento.

O teorema Pi de Buckingham

Enunciado

O teorema Pi de Buckingham estabelece que, em lugar de aplicar a técnica da análise dimensional a uma função f de n variáveis, é possível aplicar a técnica a uma função g de n - k variáveis auxiliares, sendo k o número de dimensões fundamentais, o que torna o problema mais simples. As variáveis auxiliares são adimensionais, e cada uma pode ser expressa por uma função h de, no máximo, k + 1 variáveis originais. Essas variáveis auxiliares são chamadas grupos adimensionais π ou números π.

Como ilustração, tomemos novamente o problema da queda livre de um corpo a partir de uma velocidade inicial. Em lugar de l = f(m,g,t,v) devemos escrever f(l,m,g,t,v) = 0, para satisfazer a forma exigida pelo teorema. Neste caso, n = 5; as dimensões de cada variável (l,m,g,t,v) são, respectivamente, [L], [M], [LT^-2], [T] e [LT^-1]. São k = 3 as dimensões fundamentais presentes. É possível, portanto, definir n - k = 2 grupos adimensionais π. Selecionam-se k + 1 = 4 das variáveis originais de maneira a formar o primeiro grupo adimensional π: por exemplo, s, m, g e t; escrevemos [M⁰L⁰T⁰] = [L^aM^b[LT^-2]^cT^d] = [M^bL^a+cT^d-2c] ⇒ b = a + c = d - 2c = 0. Escolhemos arbitrariamente a = -1, o que implica c = e d = 2. Assim, π₁ = h₁(s,m,g,t) = l^-1·m⁰·g¹t². Procedendo da mesma forma em relação ao grupo adimensional π₂ = h₂(s,m,t,v), encontraremos [M⁰L⁰T⁰] = [L^eM^fT^g[LT^-1]^h = [M^fL^e+hT^g-h] ⇒ f = e + h = g - h = 0. Escolhemos arbitrariamente e = -1, o que implica h = 1 e g = 1. Assim, π₂ = h₂(s,m,t,v) =l^-1·m⁰·t¹v¹ = 0. Com tudo isso, obtivemos

$\pi _{1}\;=\;k_{a}l^{-1}gt^{2}\qquad \pi _{2}\;=\;k_{b}l^{-1}tv$

$l\;=\;k_{1}\;l\;\pi _{1}\;+\;k_{2}\;l\;\pi _{2}\;=\;k_{1}gt^{2}\;+\;k_{2}tv$

O teorema se torna tanto mais útil quanto maior é o número de variáveis originais.

Os expoentes a, b, c etc. devem ser números racionais. Para facilitar os cálculos, é comum que sejam escolhidos números inteiros.

Os grupos adimensionais encontrados não são únicos. Vários conjuntos diferentes de grupos adimensionais podem ser obtidos a partir do mesmo procedimento, se escolhermos de forma diferente as variáveis a serem repetidas.

Procedimento de aplicação

O procedimento para aplicação do teorema π de Buckingham em casos práticos é o seguinte:

1. Listar as n variáveis físicas q₁, q₂ ... q_n que se supõem relevantes no caso;
2. Listar as k dimensões físicas envolvidas no problema;
3. Se uma das variáveis for adimensional, ela constitui por si só um grupo π;
4. Se duas variáveis q_i e q_j tiverem a mesma dimensão, formar um grupo π com a razão q_i/q_j;
5. Tomar k das variáveis q_i, de forma que todas as dimensões físicas estejam representadas no grupo;
   1. incluir as variáveis mais propícias ao trabalho experimental; por exemplo, a velocidade é mais fácil de se conseguir fazer variar numa faixa ampla do que a viscosidade, portanto é mais propícia ao trabalho experimental;
   2. não incluir nesse grupo a variável para a qual se deseja obter a fórmula;
   3. não incluir nesse grupo um par de variáveis tais que a dimensão de uma seja a potência da dimensão da outra; por exemplo, comprimento (L) e momento de inércia de área (L⁴);
6. Para cada uma das demais variáveis, tomar o grupo obtido nos passos acima, cada uma elevada a um expoente desconhecido e mais essa variável, elevada a um expoente conhecido (em geral, 1 ou -1);
7. Resolver as equações dimensionais resultantes e encontrar o valor de cada expoente.

Exemplo de aplicação do teorema ao problema do arrasto de uma esfera

Considere-se novamente o problema da determinação da força de arrasto em um objeto esférico perfeitamente liso imerso em um líquido, e apliquemos a ele o teorema Pi de Buckingham. As variáveis originais serão:

1. o diâmetro da esfera (L) - dimensão [L];
2. a velocidade do fluxo (v) - dimensão [Lt^-1];
3. a viscosidade do fluido (μ) - dimensão [ML^-1t^-1];
4. a densidade do fluido (ρ) - dimensão [ML^-3];
5. a força de arrasto (F) - dimensão [MLt^-2];

As k = 3 dimensões envolvidas, como se vê, são [M], [L] e [t].

Selecionemos os 3 parâmetros ρ, v e L; F, de acordo com o teorema, não deve ser utilizado. As equações dimensionais resultantes serão:

$\pi _{1}\;=\;\rho ^{a}v^{b}L^{c}F\qquad \pi _{2}\;=\;\rho ^{d}v^{e}L^{f}\mu$

$[M]^{0}[L]^{0}[t]^{0}\;=\;[ML^{-3}]^{a}[Lt^{-1}]^{b}[L]^{c}[MLt^{-2}]\qquad [M]^{0}[L]^{0}[t]^{0}\;=\;[ML^{-3}]^{d}[Lt^{-1}]^{e}[L]^{f}[ML^{-1}t^{-1}]$

o que resulta em

$(M)\;\;\;0\;=\;a\;+\;1\;\;\;\Rightarrow a\;=\;-1$

$(t)\;\;\;0\;=\;-\;b\;-\;2\Rightarrow b\;=\;-2$

$(L)\;\;\;0\;=\;-\;3a\;+\;b\;+\;c\;+\;1\;\;\;\Rightarrow c\;=\;-2$

$(M)\;\;\;0\;=\;d\;+\;1\;\;\;\Rightarrow d\;=\;-1$

$(t)\;\;\;0\;=\;-\;e\;-\;1\;\;\;\Rightarrow e\;=\;-1$

$(L)\;\;\;0\;=\;-\;3d\;+\;e\;+\;f\;-\;1\;\;\;\Rightarrow f\;=\;-1$

Assim

$\pi _{1}\;=\;{\frac {F}{\rho v^{2}L^{2}}}\qquad \pi _{2}\;=\;{\frac {\mu }{\rho vL}}$

Exercícios resolvidos

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