Mecânica dos fluidos/Viscosidade

Definição informal

A lava escorre mais veloz ou lentamente de acordo com sua viscosidade.

"existem 3 forças a de compressão, a de tensão e a de tração" . Em um sólido, as tensões derivam de deformações elásticas sofridas sob ação de forças externas. Em um fluido, as tensões derivam do fluxo resultante da aplicação dessas forças externas. A propriedade que um fluido tem de apresentar resistência às tensões cisalhantes é chamada de viscosidade. Por isso, diz-se que os sólidos são materiais elásticos e os fluidos, materiais viscosos. Alguns materiais resultantes de misturas sólidos/líquidos apresentam propriedades viscoelásticas.

Definição formal

O líquido mostrado na parte de baixo tem viscosidade maior que o líquido mostrado na parte de cima.

Considere-se um elemento de fluido, de dimensões $(\delta x,\delta y,\delta z)$, localizado entre duas placas paralelas ao plano XZ, uma delas movendo-se à velocidade $v_{x}$ em relação à outra, devido à aplicação de uma força externa no sentido do eixo X. Chamemos $\delta A_{y}$ à superfície de contato do elemento com a placa móvel e $\delta F_{x}$ à força exercida pela placa sobre o elemento de fluido. É fácil ver que $\delta F_{x}$ terá a direção do eixo X. No elemento de fluido aparecerá então a tensão $\tau _{yx}$, dada por

$\tau _{yx}\;=\;\lim _{\delta A_{y}\to 0}{\frac {\delta F_{x}}{\delta A_{y}}}\;=\;{\frac {dF_{x}}{dA_{y}}}$

Durante o intervalo de tempo $\delta t$, o líquido é então deformado, pois a superfície $\delta A_{y}$ se move no sentido do eixo X por uma quantidade que denotaremos por $\delta l$, enquanto a face oposta permanece no mesmo lugar. As faces do elemento, que eram inicialmente ortogonais ao eixo X, sofrem, por sua vez, uma rotação dada pelo ângulo $\delta \alpha$. É fácil ver que

$\delta l\;=\;v_{x}\delta t\qquad \tan \delta \alpha \;=\;{\frac {\delta l}{\delta y}}$

Para $\delta \alpha ,\delta t,\delta y$ muito pequenos, podemos escrever

$dl\;=\;v_{x}dt\qquad d\alpha \;=\;{\frac {dl}{dy}}$

Então

${\frac {d\alpha }{dt}}\;=\;{\frac {v_{x}}{dy}}$

Podemos dizer que o elemento de fluido, submetido à tensão de cisalhamento $\tau _{yx}$, sofre uma taxa de deformação (ou taxa de cisalhamento) ${\frac {d\alpha }{dt}}$. Fluidos onde a taxa de deformação é proporcional à tensão de cisalhamento são chamados fluidos Newtonianos. Em outras palavras, em um fluido Newtoniano

${\frac {d\alpha }{dt}}\;=\;{\frac {v_{x}}{dy}}\;=\;{\frac {1}{\mu }}\tau _{yx}\;=\;{\frac {1}{\mu }}{\frac {dF_{x}}{dA_{y}}}$

onde $\mu$ é chamada viscosidade absoluta (ou viscosidade dinâmica) do fluido. A dimensão da viscosidade absoluta é [massa·comprimento^-1tempo^-1]; no SI, a unidade de viscosidade absoluta é, portanto, kg/m·s ou Poiseuille. Também se usa o conceito de viscosidade cinemática, que é a razão entre a viscosidade absoluta e a massa específica; a dimensão da viscosidade cinemática é [comprimento²/tempo]; no SI, a unidade de viscosidade cinemática é, portanto, m²/s.

A equação acima é conhecida como lei de Newton da viscosidade e foi enunciada pela primeira vez em 1687.

Em condições normais, a maioria dos fluidos comuns, como água, ar e gasolina são fluidos Newtonianos. Nos gases, a viscosidade absoluta tende a aumentar com a temperatura, enquanto que, nos líquidos, ela tende a diminuir. Das fórmulas acima, temos ainda que, quanto mais próximas as placas, maior a tensão de cisalhamento.

Fluidos não Newtonianos

Alguns fluidos comuns, como a pasta de dentes, não são fluidos Newtonianos. A pasta de dentes comporta-se como um sólido quando dentro do tubo, comporta-se como um fluido quando o tubo é apertado, e volta a comportar-se como um sólido quando em repouso sobre a escova de dentes. Pode-se dizer que existe uma tensão de cisalhamento limiar $\tau _{T}$, acima da qual ela se comporta como um fluido. Fluidos com essa característica, dos quais a argila e a lama são outros exemplos, são chamados plásticos ideiais (ou plásticos de Bingham) e podem ser modelados pela equação

$\tau _{yx}\;=\;\tau _{T}\;+\;\mu {\frac {v_{x}}{dy}}$

Os fluidos Newtonianos podem, então, ser considerados casos especiais nos quais $\tau _{T}\;=\;0$.

O comportamento de outros fluidos não-Newtonianos pode muitas vezes ser modelado através da equação

$\tau _{yx}\;=\;k\left({\frac {v_{x}}{dy}}\right)^{n}$

onde n é chamado de índice de comportamento do fluxo e k, de índice de consistência. Para assegurar que $\tau _{yx}$ tenha o mesmo sinal de ${\frac {v_{x}}{dy}}$, e tornar a equação similar àquela válida para os fluidos Newtonianos, ela é reescrita

$\tau _{yx}\;=\;k\left|{\frac {v_{x}}{dy}}\right|^{n-1}{\frac {v_{x}}{dy}}\;=\;\eta {\frac {v_{x}}{dy}}$

onde $\eta$ é chamada a viscosidade aparente.

Quando n < 1, a viscosidade aparente diminui com a taxa de deformação. Fluidos com essa característica são chamados pseudoplásticos; exemplos são as soluções de polímeros, suspensões coloidais, tintas em geral e polpa de papel. Quando n > 1, a viscosidade aparente aumenta com a taxa de deformação, e o fluido é chamado de dilatante; um exemplo desse tipo de fluido é a areia movediça (mistura de água e areia). Quando n = 1, o fluido é Newtoniano.

Finalmente, alguns fluidos apresentam um comportamento dependente do tempo. Muitas tintas devem ser modeladas considerando-se uma viscosidade aparente decrescente com o tempo. Fluidos com essa propriedade são chamados tixotrópicos; fluidos cuja viscosidade apresenta o comportamento inverso, aumentando com o tempo, são chamados de reopéticos.

Existem também os fluidos viscoeláticos, já citados, que podem retornar à forma original após sofrer uma deformação.

Classificação dos fluxos

Movimento de uma partícula em fluxo laminar (a) e em fluxo turbilhonário (b).

Fluxo laminar.

Alguns poucos problemas de mecânica dos fluidos podem ser resolvidos desprezando-se os efeitos da viscosidade; os fluxos nestes casos são chamados fluxos não viscosos. Na maioria dos casos, entretanto, a viscosidade deve ser levada em conta, mesmo seu valor sendo muito pequeno. Fluxos viscosos podem ser divididos em três tipos: fluxo laminar, fluxo turbilhonário (ou fluxo turbulento) e fluxo misto. No primeiro caso, as partículas do fluido movem-se todas à mesma velocidade e numa única direção; as partículas movem-se, assim, em camadas, ou lâminas. No segundo caso, a velocidade das partículas sofre flutuações aleatórias em todas as direções. No terceiro caso o comportamento das partículas apresenta características intermediárias entre os dois extremos.

Os fluxos também podem ser classificados em compressíveis e incompressíveis. Líquidos são sempre considerados como incompressíveis, a não ser quando a pressão aplicada é muito alta; nestes caso, o líquido apresenta propriedades elásticas que devem ser levadas em conta. Gases são geralmente considerados fluidos compressíveis; contudo, quando a velocidade do fluxo é muito inferior à velocidade do som (o que se chama regime subsônico), as propriedades elásticas dos gases podem ser desprezadas e o fluxo ser considerado incompressível.

Finalmente, um fluxo pode ser classificado também como fluxo interno, quando confinado em um duto, ou como fluxo externo, em caso contrário. Exemplos de fluxo externo são o escoamento de água em um rio ou de ar em torno de uma asa de avião. Um caso especial de fluxo interno é o fluxo em canal aberto, que ocorre em duto não completamente cheio do fluido em questão; caso contrário, o fluxo é chamado de fluxo de duto forçado.

O princípio da aderência completa

O princípio da aderência completa (ing. no-slip condition) estabelece que, em um escoamento, a região do fluido imediatamente em contato com uma superfície sólida permanece imóvel. Foi comprovado experimentalmente que esse princípio é válido para muitas situações de interesse, embora não em todas. Em particular, o princípio pode ser usado para fluxos de fluidos Newtonianos homogêneos e não muito rarefeitos.

Exercícios resolvidos

• A1