Medida e integração/Notações

No decorrer deste texto algumas notações serão usadas com bastante frequência. Por este motivo, este capítulo é destinado a esclarecer tais notações.

Conjuntos numéricos

Os conjuntos de números mais conhecidos serão denotados de maneira usual:

• $\mathbb {N}$ é o conjunto formado pelos números que se usa para contar, ou seja, os números naturais: $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,4,\ldots \};$
• $\mathbb {Z}$ é o conjunto que contém todos os números inteiros, ou seja, os números naturais e seus opostos: $\mathbb {Z} =\{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots \};$
• $\mathbb {Q}$ é o conjunto formado pelos números racionais, ou seja, as frações positivas e negativas com numerador e denominador inteiros: $\mathbb {Z} =\{{\frac {p}{q}}:p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {Z} ,q\not =0\};$
• $\mathbb {R}$ denota o conjunto dos números reais, que é formado pela união dos números racionais com os números irracionais;
• $\mathbb {C}$ denota o corpo dos números complexos;

Adicionalmente, quando for mencionada uma propriedade que vale tanto para o corpo $\mathbb {R}$ quanto para o corpo $\mathbb {C} ,$ será usada a notação $\mathbb {K}$ para não ser necessário mencionar ambos os conjuntos. Sendo assim, sempre que você encontrar $\mathbb {K}$ ao longo do texto, lembre-se que o mesmo pode ser trocado por $\mathbb {R}$ ou por $\mathbb {C} ,$ sem prejuízo algum.

Operações entre conjuntos

Às vezes, ao se definir um conjunto $A$ (ou um conceito qualquer $A$) em termos de uma expressão $B$, é conveniente abreviar a afirmação "$A$ é definido como sendo $B$" denotando-a simplesmente como:

$A:=B$.

Em alguns livros, você pode encontrar também as notações $A{\dot {=}}B$ e $A{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}B,$ mas neste texto elas não serão utilizadas.

Se $\Lambda$ for qualquer um dos conjuntos $\mathbb {N} ,$ $\mathbb {Z} ,$ $\mathbb {Q} ,$ $\mathbb {R} ,$ ou $\mathbb {C} ,$ indica-se que o zero foi removido de tal conjunto usando-se a notação $\Lambda ^{*}.$ Em símbolos, isto se expressa como:

$\Lambda ^{*}:=\Lambda \smallsetminus \{0\}=\{x\in \Lambda :x\not =0\}.$

Se $A$ e $B$ são conjuntos, então:

• $|A|$ denota a cardinalidade do conjunto $\mathbf {A}$ (ou a quantidade de elementos em $\mathbf {A}$). Quando $A$ é finito, escreve-se $|A|<\infty$;
• $A\cap B:=\{x\in A{\text{ e }}x\in B\}$ é a interseção dos conjuntos $\mathbf {A}$ e $\mathbf {B} ;$
• $A\cup B:=\{x\in A{\text{ ou }}x\in B\}$ é a união dos conjuntos $\mathbf {A}$ e $\mathbf {B} ;$
• $B\smallsetminus A=B-A:=\{x\in B:x\not \in A\}$ denota a diferença entre os conjuntos $\mathbf {B}$ e $\mathbf {A} ;$
• Se $A\subset B,$ o conjunto $B\smallsetminus A$ é chamado de complementar de $\mathbf {A}$ em relação a $\mathbf {B}$ e passa a ser denotado por $A_{B}^{c}.$ No entanto, alguns autores preferem manter a notação $B\smallsetminus A.$
• Quando ficar claro pelo contexto qual é o conjunto $B,$ pode-se omiti-lo na notação $A_{B}^{c}.$ Nesses casos, escreve-se apenas $A^{c}$ (o complementar de $\mathbf {A}$). Com esta notação, tem-se $B\smallsetminus A=B\cap A^{c}.$ Em alguns livros, encontram-se também as notações $A\complement ,$ ou ainda ${\tilde {A}}.$
• $A\Delta B:=(A\smallsetminus B)\cup (B\smallsetminus A)=(A\cup B)\smallsetminus (A\cap A)$ é a diferença simétrica entre $\mathbf {A}$ e $\mathbf {B} ;$
• ${\mathcal {P}}(A):=\{Y:Y\subset A\}$ é o conjunto das partes de $\mathbf {A} ,,$ ou seja, o conjunto dos subconjuntos de $A;$
• ${\mathcal {P}}_{f}(A):=\{Y\in {\mathcal {P}}(A):|Y|<\infty \}$ é o conjunto das partes finitas de $\mathbf {A} ;$

Se $\Lambda$ e $X$ são conjuntos não-vazios, então uma família em $\mathbf {X}$ indexada por ${\boldsymbol {\Lambda }}$ é simplesmente qualquer aplicação $x:\lambda \in \Lambda \mapsto x_{\lambda }\in X.$ Os elementos de $\Lambda$ são chamados de índices e conjunto $\Lambda$ é então um conjunto de índices. A família é denotada por $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ ou, quando o conjunto de índices ficar claro pelo contexto, simplesmente por $(x_{\lambda }).$

Alguns autores preferem usar $I$ ou $\Gamma$ no lugar de $\Lambda .$ Ocasionalmente isto poderá acontecer ao longo deste wikilivro.

Se $\Lambda$ é enumerável, ou seja, se existe uma correspondência biunívoca de $\Lambda$ com $\mathbb {N} ,$ a família $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ é chamada de sequência em $\mathbf {X}$ indexada por ${\boldsymbol {\Lambda }}$. Se $\Lambda$ é finito, a família $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ é chamada de sequência finita em $\mathbf {X}$ indexada por ${\boldsymbol {\Lambda }}.$

Se $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ é uma família em $X$ indexada por $\Lambda ,$ enumerável ou não, então:

• A união arbitrária dos $\mathbf {X} _{\boldsymbol {\lambda }}$ quando ${\boldsymbol {\lambda }}$ percorre ${\boldsymbol {\Lambda }}$ é o conjunto

$\bigcup _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }:=\{x:x\in X_{\lambda _{0}},{\text{ para algum }}\ \lambda _{0}\in \Lambda \};$

• A intereseção arbitrária dos $\mathbf {X} _{\boldsymbol {\lambda }}$ quando ${\boldsymbol {\lambda }}$ percorre ${\boldsymbol {\Lambda }}$ é o conjunto

$\bigcap _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }:=\{x:x\in X_{\lambda },\forall i\in \Lambda \}.$

Se $\Lambda =\mathbb {N}$, a união arbitrária dos $X_{\lambda }$ quando $\lambda$ percorre $\Lambda$ é

$\bigcup _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }=\bigcup _{\lambda =0}^{\infty }X_{\lambda },$

e a intereseção arbitrária dos $X_{\lambda }$ quando $\lambda$ percorre $\Lambda$ é

$\bigcap _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }=\bigcap _{\lambda =0}^{\infty }X_{\lambda }.$

Analogamente, se $\Lambda =\left\{0,\ldots ,k\right\}$, então:

$\bigcup _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }=\bigcup _{\lambda =0}^{k}X_{\lambda }=\bigcup _{0\leq \lambda \leq k}X_{\lambda }=X_{0}\bigcup \ldots \bigcup X_{k}.$

Do mesmo modo, escreve-se

$\bigcap _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }=\bigcap _{\lambda =0}^{k}X_{\lambda }=\bigcap _{0\leq \lambda \leq k}X_{\lambda }=X_{0}\bigcap \ldots \bigcap X_{k}.$

Convenção

Se $\Lambda =\emptyset ,$ então $\bigcup _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }=\emptyset$ e $\bigcup _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }=X.$