Medida e integração/Notações


No decorrer deste texto algumas notações serão usadas com bastante frequência. Por este motivo, este capítulo é destinado a esclarecer tais notações.

Conjuntos numéricosEditar

Os conjuntos de números mais conhecidos serão denotados de maneira usual:

  •   é o conjunto formado pelos números que se usa para contar, ou seja, os números naturais:  
  •   é o conjunto que contém todos os números inteiros, ou seja, os números naturais e seus opostos:  
  •   é o conjunto formado pelos números racionais, ou seja, as frações positivas e negativas com numerador e denominador inteiros:  
  •   denota o conjunto dos números reais, que é formado pela união dos números racionais com os números irracionais;
  •   denota o corpo dos números complexos;

Adicionalmente, quando for mencionada uma propriedade que vale tanto para o corpo   quanto para o corpo   será usada a notação   para não ser necessário mencionar ambos os conjuntos. Sendo assim, sempre que você encontrar   ao longo do texto, lembre-se que o mesmo pode ser trocado por   ou por   sem prejuízo algum.

Operações entre conjuntosEditar

Às vezes, ao se definir um conjunto   (ou um conceito qualquer  ) em termos de uma expressão  , é conveniente abreviar a afirmação "  é definido como sendo  " denotando-a simplesmente como:

 .

Em alguns livros, você pode encontrar também as notações   e   mas neste texto elas não serão utilizadas.

Se   for qualquer um dos conjuntos         ou   indica-se que o zero foi removido de tal conjunto usando-se a notação   Em símbolos, isto se expressa como:

 

Se   e   são conjuntos, então:

  •   denota a cardinalidade do conjunto   (ou a quantidade de elementos em  ). Quando   é finito, escreve-se  ;
  •   é a interseção dos conjuntos   e  
  •   é a união dos conjuntos   e  
  •   denota a diferença entre os conjuntos   e  
  • Se   o conjunto   é chamado de complementar de   em relação a   e passa a ser denotado por   No entanto, alguns autores[1] preferem manter a notação  
  • Quando ficar claro pelo contexto qual é o conjunto   pode-se omiti-lo na notação   Nesses casos, escreve-se apenas   (o complementar de  ). Com esta notação, tem-se   Em alguns livros, encontram-se também as notações   ou ainda  [2]
  •   é a diferença simétrica entre   e  
  •   é o conjunto das partes de   ou seja, o conjunto dos subconjuntos de  
  •   é o conjunto das partes finitas de  


Se   e   são conjuntos não-vazios, então uma família em   indexada por   é simplesmente qualquer aplicação   Os elementos de   são chamados de índices e conjunto   é então um conjunto de índices. A família é denotada por   ou, quando o conjunto de índices ficar claro pelo contexto, simplesmente por  

Alguns autores preferem usar   ou   no lugar de   Ocasionalmente isto poderá acontecer ao longo deste wikilivro.

Se   é enumerável, ou seja, se existe uma correspondência biunívoca de   com   a família   é chamada de sequência em   indexada por  . Se   é finito, a família   é chamada de sequência finita em   indexada por  

Se   é uma família em   indexada por   enumerável ou não, então:

  • A união arbitrária dos   quando   percorre   é o conjunto
 
  • A intereseção arbitrária dos   quando   percorre   é o conjunto
 

Se  , a união arbitrária dos   quando   percorre   é

 

e a intereseção arbitrária dos   quando   percorre   é

 

Analogamente, se  , então:

 

Do mesmo modo, escreve-se

 
Convenção

Se   então   e  

ReferênciasEditar

  1. DiBenedetto (2002)
  2. Royden (1988).