Notas de Mecânica/Movimento em duas e três dimensões

Redefinição das grandezas cinemáticasEditar

PosiçãoEditar

Em 2D:

 

Em 3D:

 

DeslocamentoEditar

Em 2D:

 
 
 
 
 
 


Em 3D :

 
 
 
 
 
 

VelocidadeEditar

 

em 2D:

 
 
 


 
 


 


em 3D:

 
 
 
 
 


 

AceleraçãoEditar

 

em 2D:

 
 
 
 
 


 


em 3D:

 
 
 
 
 


 

Princípio da Independência dos Movimentos (Galileu)Editar

Consideremos um bloco deslizando sobre um plano inclinado de maneira que sua aceleração é constante. Admitamos que em   seu vetor velocidade inicial seja   .


 

Se orientarmos nosso eixo coordenado da maneira indicada na figura podemos usar tudo que vimos anteriormente sobre movimentos unidimensionais com aceleração constante. Isto é as equações que descrevem o movimento serão :

  (a coordenada Y não varia )
 
 

Contudo não necessariamente precisamos usar o sistema   de eixos coordenados, poderiamos, por exemplo usar o sistema coordenado   mostrado na figura abaixo para descrever o mesmo movimento.

(vai a figura aqui)

 

A natureza física do problema não irá mudar pelo fato de termos mudado a orientação dos eixos coordenados para analisar o movimento ou seja, se em   tinhamos um movimento com aceleração constante em   também teremos. Contudo agora teremos que nos valer da descrição bidimensional do movimento, desta forma teremos as seguintes equações vetoriais para descrever o movimento:

 

e

 


Por termos um problema bidimensional (em  ) teremos as grandezas:

 
 
 
 
 


Desta maneira teremos:

 
 
 


 


Logo :

 
 


da mesma forma para:

 

teremos:

 
 
 

Logo:

 
 


Podemos generalizar para o caso em 3D:


 

e

 

Movimento BalísticoEditar

 

ONDE  


  (1)
 
 
 

onde:

 
 


Definimos como alcance   do projétil o seu deslocamento na direção  , ou seja  :

 

e desta forma pela equação (1) temos:

 

onde chamamos   o tempo de voo da partícula ou seja o tempo que ela permanece em movimento no ar.


Equação da trajetóriaEditar

 

Isolando o tempo:

 
 

substituindo em :

 
 

temos:

 
 

UM CASO PARTICULAR: Lançamento num plano horizontalEditar

Usando o sistema de eixos coordenados indicados na figura temos:

 
 
 

Nosso alcance será então  

Pelas equações anteriores:

 

o tempo que o projétil permanece em movimento podemos calcular pela equação em   , desta forma:

 
 
 
 
 

Substituindo na equação em   teremos:

 
 

Usando a identidade trigométrica:

 

No caso particular se   :

 
 

Desta forma usando na equação para o alcance: