Notas de Mecânica/Movimento Retilíneo Uniformemente variado

Sabemos que: $a_{med}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {v_{f}-v_{i}}{t_{f}-t_{i}}}$

No movimento retílineo uniformemente acelerado a aceleração média é igual a aceleração instantânea:

$a_{med}=a$

e desta forma:

$a={\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {v_{f}-v_{i}}{t_{f}-t_{i}}}$

$v_{f}-v_{i}=a(t_{f}-t_{i})$

$v_{f}=v_{i}+a(t_{f}-t_{i})$

$v_{f}=v_{i}+a\Delta t$

É comum usar as definições:

$v\equiv v_{f}$

$v_{0}\equiv v_{i}$

$t\equiv t_{f}$

${t_{i}}\equiv 0$

desta forma temos a conhecida equação: $v=v_{0}+at$

Equação de posição

Sabemos que:

$v_{med}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {x_{f}-x_{i}}{t_{f}-t_{i}}}$

Logo:

$v_{med}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {x_{f}-x_{i}}{t_{f}-t_{i}}}$

$v=v_{med}={\frac {x_{f}-x_{i}}{t_{f}-t_{i}}}$

e por consequência:

$x_{f}-x_{i}=v_{med}(t_{f}-t_{i})$

$x_{f}=x_{i}+v_{med}(t_{f}-t_{i})$

$x_{f}=x_{i}+{\color {Red}v_{med}}\Delta t$ (1)

Como a aceleração é constante:

$v_{med}={\frac {v_{f}+v_{i}}{2}}$

Lembrando que:

$v_{f}=v_{i}+a\Delta t$

Temos então:

$v_{med}={\frac {(v_{i}+a\Delta t)+v_{i}}{2}}$

ou seja:

$v_{med}={\frac {2v_{i}+a\Delta t}{2}}$

$v_{med}=v_{i}+{\frac {a\Delta t}{2}}$

Substituindo na equação (1):

$x_{f}=x_{i}+{\color {Red}\left(v_{i}+{\frac {a\Delta t}{2}}\right)}\Delta t$

e finalmente:

$x_{f}=x_{i}+v_{i}\Delta t+{\frac {a(\Delta t)^{2}}{2}}$

Equação de Torricelli

$x_{f}=x_{i}+v_{i}\Delta t+{\frac {a}{2}}(\Delta t)^{2}$

$v_{f}=v_{i}+a\Delta t$

$\Delta t={\frac {v_{f}-v_{i}}{a}}$

Eliminando o $\Delta t$ das duas equações acima:

$x_{f}=x_{i}+v_{i}\left({\frac {v_{f}-v_{i}}{a}}\right)+{\frac {a}{2}}\left({\frac {v_{f}-v_{i}}{a}}\right)^{2}$

Depois de alguma algebra:

$v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a(x_{f}-x_{i})$

Movimento de Queda Livre

Um exemplo de movimento com aceleração constante é o movimento de queda livre. Dizemos que um corpo esta em queda livre quando sobre ele apenas a força gravitacional age, nestas condição nas proximidades da superfície da Terra a aceleração de queda dos corpos é aproximadamente constante igual a aproximadamente $9,8m/s^{2}$.

obs.: visite a parte de gravitação universal para saber o que acontece quando o movivento não se dá perto da superfície da Terra.

Usando o sistema de eixos coordenados mostrados na figura ao lado temos que ao soltarmos um corpo o corpo ira se mover em direção ao solo e portanto o seu deslocamento $\Delta y=y_{f}-y_{i}$ será negativo se o deslocamento é negativo a sua velocidade também sera negativa e é sabido experimentalmente que sua velocidade de queda aumentará a medida que o tempo passa, ou seja temos um movimento acelerado, e se o movimento é acelerado a aceleração tem o mesmo sentido da velocidade e portanto ela também será negativa.

Se jogarmos o corpo verticalmente para cima o seu deslocamento $\Delta y$ será positivo e por consequência sua velocidade também será positiva, contudo o corpo tem sua velocidade diminuida enquanto sobe até ser zero na sua altura máxima logo o movimento será retardado, ou seja a sua aceleração será negativa.

Desta forma TANTO NA SUBIDA QUANTO NA DESCIDA: $a=-g$

onde $g=9,8m/s^{2}$

e com uso das equações do MRUV teremos:

The table's caption

	MRUV	MQL
Equação de velocidade	$v_{f}=v_{i}+a\Delta t$	$v_{f}=v_{i}-g\Delta t$
Equação de posição	$x_{f}=x_{i}+v_{i}\Delta t+{\frac {a(\Delta t)^{2}}{2}}$	$y_{f}=y_{i}+v_{i}\Delta t-{\frac {g(\Delta t)^{2}}{2}}$
Equação deTorricelli	$v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a(x_{f}-x_{i})$	$v_{f}^{2}=v_{i}^{2}-2g(y_{f}-y_{i})$

temos:

Exemplos Resolvidos

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